[創作] 李冶數學難題

[hgt (皇元界朝)]

     李冶是金末元初的數學家，最著名的成就便是天元術，據說可解高次方程式。

     相傳1232年蒙古軍圍攻汴京時，他曾上書金朝廷，說可以出一道數學難題，

     只要蒙古帝國方面能解出來，就給予大量歲幣，如若不能，就要撤圍，退兵

     三十里。

     當然，別說蒙古方是不可能接受，連金哀宗也覺得不可能成功，便婉拒此

     要求。

     據說難題如下:



     1+1/Y+1/(Y^2)+1/(Y^3)+1/(Y^4)+1/(Y^5)+1/(Y^6)+1/(Y^7)+1/(Y^8)= 0

     求 [4x(Y^12)]^3 = K =??

     當然，裡面的"Y"是指天元術裡的"天元"，就是未知數的意思。



     當初李冶的要求是，能解出"K"值，就給蒙古帝國"K"萬兩銀，不能的話，

     就要撤圍退兵。

     有沒有人知道這題的答案???

     或是有人知道如何解這題???





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  "我現在沒時間對付這些叛徒，他們終將遭受懲罰，根據烏克蘭軍法紀律第48條，
   未決定祖國是哪裡的軍人，已經違背了他們對烏克蘭人民做出的保家衛國效忠
   誓言，他們的自由與民主，將無庸置疑地遭到剝奪，牆頭草般的將領，不屬於這裡!"

                                             --弗拉迪米爾·澤倫斯基, 2022

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.195.125.232 (臺灣)
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推 shihpoyen: 看起來能拆成[1+1/Y+1/(Y^2)][1+1/(Y^3)+1/(Y^6)]=0
→ shihpoyen: 所以Y的8個根可寫成exp(i*PI*y) y=2/3、2/9、8/9、14/9
→ shihpoyen: 、-2/3、-2/9、-8/9、-14/9
→ shihpoyen: K=[4*(Y^12)]^3=64*(Y^36)=64*1=64

     喔!!!  這麼簡單就解出囉!!!

     不過Y^36=1 是怎麼算的???

     看不懂!!!

※ 編輯: hgt (123.195.125.232 臺灣), 12/10/2022 16:02:07
→ shihpoyen: 不過那年代沒有虛數的概念 所以我猜他多半沒解出Y 而是
→ shihpoyen: 解出Y^3的其中一個可能值是1
推 shihpoyen: Y=exp(i*PI*y) 所以Y^36=exp(i*PI*36*y) 36*y分別等於
→ shihpoyen: 24、8、32、56、-24、-8、-32、-56 皆為偶數 所以Y會是
→ shihpoyen: exp(i*PI*2)=1的整數次方 也就是1


     OK，原來是尤拉公式!!!

     原來尤拉公式可以解高次方程??

     工數有上過???

     沒印象了XD


※ 編輯: hgt (123.195.125.232 臺灣), 12/10/2022 16:26:59
→ shihpoyen: 這題能解是因為可以拆成兩個變形的一元二次方程式相乘
→ shihpoyen: 只是因為解出來是複數 所以用尤拉公式比較方便表示

     哈哈~ 感謝  我覺得很有趣~

     我可以給你1000P幣表示感謝~

     不過我還沒給過別人P幣，我看看怎麼弄~


     剛給你稅後P幣1000，應該沒弄錯，如果沒收到，你再私信我~




※ 編輯: hgt (123.195.125.232 臺灣), 12/10/2022 17:12:45
※ 編輯: hgt (123.195.125.232 臺灣), 12/10/2022 17:19:10
推 daze: 其實把兩端同乘(1-1/Y)，就可以得到1-(1/Y^9) = 0，1/Y^9=1
→ daze: 則1/Y的九個根就會落在複數單位圓 2*n*Pi/9 n=0、1、....、8
→ daze: 的9個點上。n=0，即1/Y=1 這個根是同乘(1-1/Y)時虛增的，要
→ daze: 去掉，剩下的8個根才是真的根。

        這個解很系統，我也給你1000P幣~


※ 編輯: hgt (123.195.125.232 臺灣), 12/10/2022 17:25:29
推 shihpoyen: 收到了 感謝
→ daze: 但由於複數單位圓上的所有根都會滿足Y^9=1，所以Y^36也會等
→ daze: 於1，不必把根分別實際寫出來也沒差。
推 shihpoyen: d大的解法滿漂亮的

       對，非常簡單的解法~


※ 編輯: hgt (123.195.125.232 臺灣), 12/10/2022 17:32:28
推 moslaa: 有趣歷史故事
推 leptoneta: 秀才遇到兵
推 Segal: 推d大解法。蠻好奇當年李冶做題的思路是怎麼想的？
推 TETUO: 我以為到了數學版@@，李治出數學題考蒙古人也太有趣了
推 owenbai: 用matlab 算y有八個解
→ owenbai: 全是複數解
→ owenbai: 每個解丟公式，算出來是正負64，所以要給蒙古64萬
→ hgt: 應該不會有負值，就是64才對