[分享] 複變&離散 心得

[sunhextfn (阿毛)]

記得寒假~二下開學這段期間，
偶爾和同學討論到...要修複變還是離散?

幾個沒修過的人把有限的資訊攤開來講講，
最後的結論還是沒那麼清楚

甚至有人決定，拿到哪位老師(陳士元or陳和麟)的授權碼就去誰，
結果兩位老師的授權碼都拿到了XDD

也有人直接怒雙修，結果期中考後就後悔(EX:本魯)

以下小談一下這學期的修課心得:

複變:
   期中考的範圍大約是
     複數的運算(EX: i^i 是多少? )
        -->只要很小心留意ln(z)、sin(z)、sinh(z)、arccos(z)、arccosh(z)
           之類的定義就好。簡單來說，一切照定義走，
           不要像本魯偷懶省略東西自己雷自己。
     Cauchy-Riemann equation (判斷函數是否可微的)
        -->通常帶定義慢慢偏微就好，不過有些考古叫你在平面座標證明它，
           甚至要證極座標的形式...所以行有餘力知道怎證比較好。
     Analytic function的積分
        -->這是可以很高興地當成取不定積分再帶上下限的function，
           通常不難，但是如果遇到ln(z)要多注意...呵呵= =
     Cauchy's integral formula(pole外積一圈路徑的)
        -->這是期中考較難的地方，但之後教了殘值定理才知這是special case阿~~
           一定要多練習!
     Taylor series
        -->這...當成複數版的Taylor series就好，基本上跟微積分差不多，
           注意怎算收斂半徑。
   期末考範圍大約是
     Laurent series ( Taylor series的延伸)
        -->照課本的例題看一看就知道怎偷懶計算了XD
           必須注意收斂區間和它跟殘值定理的關係，兩個都常考。
     Residue theorem (傳說中的殘值定理0.0 算積分用的)
        -->這裡會持續很多個禮拜，我覺得是複變裡最重要的，
           可以計算很難的積分，EX: integral cos(x)/(x^2+1) from -inf to inf
           還有 無窮級數 EX: summation 1/(n^2+1) frim -inf to inf
           還有 inverse Laplace transorm
           還有 三角函數的 EX: integral 1/(2+cos(x)) from 0 to 2*pi
           值得一提的是，這裡的積分，除了inverse laplace，
           其他都可以問wolfram，它會很快地告訴你答案但是沒有過程XD
           我都是這樣念的，雖然常常積的很崩潰拉= =
           inverse laplace可能是計算太難，wolfram不一定算的出來
           如果好奇上面提到的例子的答案是多少，可以直接貼給wolfram看看~

       PS1:有時候用殘值定理要微分好多次太噁心，可以用Laurent series展開歐~
       PS2:wolfram或殘值定理也不見得管用，強者我室友的工數考題是，
           integral ln(1+x^2)/(1+x^2) from 0 to inf，我殘值定理算不出來= =
           最後還是回歸微積分亂搞才出來的~

     Conformal mapping (傳說中複變最重要的?
        -->其實是座標轉換，先轉到好做的座標，再換回來而已，
           拿來解"特定形狀"的靜電位能特別管用，但個人認為它能解的形狀也有限，
           對於亂七八糟的形狀，很難得出解析解的那種，其實用電腦數值方法可以
           算出還行的解(EX: finite difference method)。
           不過據說電磁二會用到...因為我還沒修，就不敢敘述太多了~
           Conformal mapping的表不用背，因為我也沒背~

  複變小節: 喜歡微積分的可以來修，不喜則慎入啊~~
            我是修陳士元老師的，但慚愧的是，常常聽到睡著= =只好回去自己讀。
            老師的課還是該聽，因為會提到課本沒提的東西。
            念小考時，可以直接去系學會網站找期中期末考古題來寫，
            反正小考跟大考的範圍差不多~

離散:
   這裡先承認一下，本魯覺得離散沒學好，有點愧對和麟，特別是期中考考爆以後，
   納悶自己幹嘛搞這麼累，到底在學什麼。不過修完後再回顧，還是有學到東西。
   期中考範圍:
     邏輯運算&推理(比交電還嚴謹)
     -->一開始以為Logic table很白癡，就很輕忽它，結果總是有不嚴謹的地方。
        可以多創意發想怎做比較好XD 老師舉的的例子都很重要!
        這裡是期中考必需拿分的地方，因為其他的更難...
        邏輯運算跟交電差不多，邏輯推理是將多個敘述句轉換成邏輯式子，再做推理。
        不過這裡最難的大概是，證明{iff,not} is not functional complete之類的。
     Sets & Functions
     -->先是熟悉使用Set的表示法，再用function mapping的概念，可以比較
        Set的大小，EX: 自然數vs正整數 ； 區間(0,1) vs 正整數。
        必須熟悉對角線證法!
     Algorithm
     -->簡而言之，就是教asymptotic notation(big O、big theta之類的)，
        原本以為定義清楚就好，結果期中考就GG了= =心得是...找反例很重要!
     Number theory
     -->因數線性組合、中國剩餘定理、費馬小定理之類的，
        第一項和過去學的最大公因數、最小公倍數差不多，其他的就看以前有沒有讀過
        相關資料，不過整體而言不難。(費馬小定理的證明稍難啦?)
   期末考範圍:
     Recurrence
     -->就是解差分方程，跟解微方有點像，不過某些題目硬套公式不管用，
        需要先做點手腳，EX: 方程式左右同乘(n-1)、令B(n)=T(n)-T(n-1)、
        令B(n)=log(T(n))之類的。 //T(n)是遞迴式的解
     Generating function
     -->這裡可以和機率的moment generating function互相輝映，如果跟我一樣懶得
        想排列組合，可以向generating function觀望XD
     Relation
     -->簡單來說，relation描述點跟點之間的有向連線，可否從a走到b，b走到c，
        舉例來說，R={(a,b) | a is b's parent, a,b屬於某某family}
        就是一種relation。
        只要搞清定義，衍伸的定義抄到大抄，看清楚題目在問啥，證明就不難了。
     Graph
     -->相信修離散之前很多人聽過graph了，但總是不知它的細節，和麟會帶你走過
        undirected graph好幾個禮拜~從基本定義、graph isomorphism、
        graph connectivity、Euler path、Hamiltonian path、planar graph、
        graph coloring...到最後講一點點的Tree...
        內容很多，每次看證明大多不會太複雜，只是真的很難想到= =
        心得是，熟悉老師的證明...總有一天(EX:期末考XD)會用到的~

  離散小節:
    和麟上課抄筆記很重要，只是有時候老師難的地方會講很快= =建議舉手問一下，
    可以放慢老師的速度(? 回顧離散到底學到啥，我想大概是學到一些神奇的證明法吧?
    跟著老師的思路走總是好的~還有如果有人跟我一樣期中爆炸的，期末千萬別放棄，
    會有意想不到的收穫喔!推和麟拉!!

後記:
  希望這篇能幫助到以後選複變or離散的同學，不過把這學期學到啥寫出來也是
  滿快樂的拉~
  複變的內容比離散完整，我也砸比較多時間在複變，所以複變寫起來比較多個人心得。
  我也不知哪門課比較重要，雖然複變在物理電波之類的有用，但是工程上可以用
  數值方法就不用管複變。離散雖然對CS很重要，但是很多都講一點點，用到再學就好。
  不過以唸書時間來說，離散應該不用，或者說沒辦法，念太久吧?XD

  我確定的是，機率&信號遠比 複變&離散重要! 時間最該砸再機率&信號啊~~
  雖然有人會不喜歡...但我默默推機率助教課...

應該沒啥好寫了，下台一鞠躬~

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推 yunchuchen: 這篇好完整喔 跪了<(_ _)>
※ 編輯: sunhextfn (140.112.243.92), 07/20/2015 23:50:19
※ 編輯: sunhextfn (140.109.103.203), 07/21/2015 11:42:00
推 fate100783: 跪拜一下原pp
推 XDucka: 大家最後的重點都會是機率跟信號比 複變跟離散重要XD
推 ittfie: 推～