Re: [考試] 一題"兩人效用+PPC限制"的題目

[moondark92 (明星黯月)]

※ 引述《haioshi (阿鱒)》之銘言：
: 題目：
: http://i.imgur.com/iYLtUh6.jpg
: 我的解法:
: http://i.imgur.com/umCnIsF.jpg
: (題目沒說明清楚，所以我假設G是公共財)
: 題目附的詳解:
: http://i.imgur.com/Y1zLWx8.jpg
: 我覺得不合理，因為把x當x軸，G當y軸答案就變了，所以應該不對。

來個直觀的解法好了
假設X是私有財,A使用Xa,B使用Xb,G是公有財,兩人皆使用G
Ua=2Xa+50G,Ub=2Xb+10G,兩人總效用U=Ua+Ub=2Xa+2Xb+60G
生產可能變為(Xa+Xb)+G^2-100G=20000 為3度空間曲面限制式
微分得 dXa+dXb+(2G-100)dG=0
又總效用微分 dU=2 dXa+2 dXb+60 dG
要使效用達極端值必須相切 1:1:(2G-100)=2:2:60=1:1:30
2G-100=30解得G=65

這題目能這樣出關鍵在於兩人的X邊際效用相等(都是2),
否則可能沒有相切點而出現角解

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推 haioshi: 感謝月黑大！所以原本解答的公式應該也不對吧！只是剛好
→ haioshi: 這樣算是對的
該公式想法源於社會每放棄1單位私有財X損失2效用,每增加1單位公有財增加60效用
當X對A和B的邊際效用可隨Xa與Xb而變化達均衡相等,該公式提供計算方便性
不過在此之前先把題目改一下看看效果如何

(1)如果效用變成Ua=2X+50G,Ub=X+10G會如何?
總效用U=Ua+Ub=2Xa+Xb+60G,由於X對A的邊際效用(2)恆大於B(1)
在同樣G之下,把X全部給A使Xb=0的效用會最大化
生產可能微分 dXa+(2G-100)dG=0, 而dU=2dXa+60dG
1:(2G-100)=2:60則G=65
但若用該簡化公式則會50/2+10/1=2G-100,得G=67.5答案發生錯誤

(2)如果效用再變成Ua=g(2X+50G),Ub=g(X+10G)
其中g'(y)隨y增加而遞減(比方說g'(y)=y^0.5)又會如何?
dUa=g`(2Xa+50G)(2dXa+50dG) 而 dUb=g`(Xb+10G)(dXb+10dG)
dU=dUa+dUb=[2g`(2Xa+50G)]dXa+[g`(Xb+10G)]dXb+[50g`(2Xa+50G)+10g`(Xb+10G)]dG
則1:1:(2G-100)=[2g`(2Xa+50G)]:[g`(Xb+10G)]:[50g`(2Xa+50G)+10g`(Xb+10G)]
則令[2g`(2Xa+50G)]=[g`(Xb+10G)]=[50g`(2Xa+50G)+10g`(Xb+10G)]/(2G-100)=t
[50*(t/2)+10t]/(2G-100)=t解得G=67.5和簡化公式解出來結果一樣

也就是說當X對Ua和Ub邊際效用會遞減時,在同樣G之下,也就是同樣Xa+Xb下
若δUa/(δXa)>δUb/(δXb)則降低Xb轉給Xa可使Ua+Ub增加,
直到δUa/(δXa)=δUb/(δXb)可使Ua+Ub達到同樣G下最大值
此時X對A與B邊際效用相等,而可以分別用Xa,Xb邊際效用當基數,
各自用G邊際效用/X邊際效用後再相加
而得到社會每放棄1單位私有財X損失的效用,與每增加1單位公有財增加效用的比例

※ 編輯: moondark92 (123.192.233.227), 09/17/2016 23:01:59
推 haioshi: 感謝你的講解～豁然的感覺真好