[問題] IEEE 754 浮點數運算觀念問題

[ayn775437403 (@@@@@@@@@@@@@@@@@@@)]

(代PO)

大家好，小弟最近在學浮點數

有幾個運算觀念卡關，因此來這邊求助大家。

這邊問題都以IEEE 754 單精度浮點數為例

(即1個sign bit,8個 exponent bit,23個mantissabit)

第一個問題:

兩個浮點數在算加減法的時候，exponent小的mantissa要對齊exponent大的mantissa

也就是要看兩個浮點數的exponent差距多少來看mantissa要移位多少

那如果exponent小的那個的mantissa在移位過後超過mantissa所能表示的範圍

要把超過範圍的那幾個bit一起算，還是要捨去呢?

舉例來說

我要算兩個浮點數相減

第一個數:

0    10010011 0000 0000 0000 0000 1111 111
|    |------| |--------------------------|
sign exponent         mantissa

第二個數:

1    10001110 0000 0000 0000 0111 1111 111
|    |------| |--------------------------|
sign exponent         mantissa

第一個數的exponent換成十進位是147，第二個數的exponent換成十進位是142

而147-127(bias)=20,142-127=15

所以事實上上面兩個數可以變為:

第一個數:

1.0000 0000 0000 0000 1111 111 * 2^20

第二個數:

-1.0000 0000 0000 0111 1111 111 * 2^15

因為第二個數比第一個數的次方少五,所以要右移5個bit

那麼問題來了，移完之後是會變成

(一)所有bit都保留,因此共要28bit表示mantissa

-0.0000 1000 0000 0000 0011 1111 1111 *(2^20)
                               |----|
                               這五個bit超過23bit

(二)超過23bit之後直接砍掉,因此滿足23bit表示mantissa

-0.0000 1000 0000 0000 0011 111 *(2^20)

(三)加入round,guard,sticky三個bit去考慮,因此用25bit表示mantissa

-0.0000 1000 0000 0000 0011 1111 1 且設S=1(因為砍掉後面三個1)
                               | |
                               G R

是上面(一)、(二)、(三)的哪一種呢?

因為這三種不同的移位方式會造成最後答案都不一樣，

所以我想IEEE 754應該會有明確的規範。

我個人是比較傾向於第(三)種，

因為如果是第(一)種的話，兩個浮點數若exponent差太多

那就要保存一大堆數字，像是兩數的exponent如果差了一百

那小的exponent很可能就要保存一百個0外加原本的23個mantissa

等於要保存123個bit，以硬體的角度而言應該是不會這樣設計?



第二個問題:

在網路上查到的引入round,guard後的rounding方法大概是這樣

若

(一): (G,R) = (0,0)>捨去

(二): (G,R) = (0,1)>捨去

(三): (G,R) = (1,0)>看sticky bit是多少決定要不要捨or進

(四): (G,R) = (1,1)>進位

我對於(一),(二),(四)這三種方式都能接受

但是(三)，若(G,R) = (1,0)的話

換成十進位不就是0.5，以四捨五入的角度來說不是就是直接進位嗎？

為什麼還要看sticky是多少來決定要不要進位呢?



目前主要就這兩個問題，希望各位可以替我解答一下，感激不盡!

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→ colinshih: 你怎麼手算,浮點就這麼算,但超出的位數用1-bit表示即可
謝謝您的回答

但是超出的BIT似乎沒辦法只用1BIT表示吧?

如果要表示的話,應該至少也要用GUARD和ROUND兩個BIT來表示吧?

→ colinshih: 100-0.0011，100 + 0.0011 那一位要設在那?想想就懂了
抱歉,小弟資質較差 想了蠻久的還是沒辦法了解您在說什麼

我是看到白算盤課本上的範例在移位的時候若有超過範圍的話

似乎是保留一個GUARD一個ROUND來運算

跟您說的似乎不太一樣才會這樣問@@..
※ 編輯: ayn775437403 (118.160.49.195 臺灣), 05/29/2020 23:32:50
推 colinshih: ex 100+0.0011->100.0+0.01->100.01 g.rs=0.01
→ colinshih: 按rounding method 決定mantissa
→ colinshih: sticky = next bit of rounding = or(001)
→ colinshih: sticky = next bit of rounding = or(011) 修正
→ colinshih: 011 是 被加數在 rounding bit 後的數
所以依照您的意思來說

我問題一的答案應該是(三)吧?

就是需要加入g r s來判斷對吧
※ 編輯: ayn775437403 (114.43.134.169 臺灣), 05/30/2020 16:14:03