[問題] 工數

[semmy214 (陳山河)]

  ∞
∫exp(-(1/8)u^2) du =√8π
 -∞
令 a = ∫ exp(-u2 /8) du = ∫ exp(-v2 /8) dv
令 u = rcosθ , v = rsinθ
dudv = rdrdθ
a^2  = [∫ exp(-u2 /8) du][∫ exp(-v2 /8) dv)]
= ∫∫ exp(-u2 /8) exp(-v2 /8) dv du
= ∫∫ exp(-(u2 +v2 )/8) dv du
= ∫(0→2π)∫(0→∞) exp(-(r2 )/8)r dr dθ
= ∫(0→2π)∫(0→∞) exp(-(r2 )/8)/2 d(r2 ) dθ
= ∫(0→2π) -8exp(-(r2 )/8)/2 | (0→∞) dθ
= ∫(0→2π) [0-(-8)/2] dθ
= 8π


問題如上 已經有解法
但我想問原本是積-∞→∞ 感覺是積上半圓(殘值定理那章)
為何r會變0→∞  θ會是0→2π

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※ 編輯: semmy214 (59.102.155.98), 01/01/2016 17:26:32
推 goshfju: r是半徑長 不會有負的阿 theta轉一圈就是0-2pi
→ semmy214: http://imgur.com/HjB1eF7
→

※ 編輯: semmy214 (59.102.155.98), 01/01/2016 22:00:24
→ semmy214: http://imgur.com/OPdOdlB
推 goshfju: 其實你機率熟的話 這個就常態積分而已
→ goshfju: ∫exp(-(x-a)^2/2b^2 ) dx = √(2π) * b
→ goshfju: 此題 b=2
→ goshfju: 每次都轉極座標太累啦 你要有一些工具
→ goshfju: 在初微的話我記得是教∫exp(-x^2)dx=√π
→ semmy214: a=0 ?