[閒聊] 抽數期望值計算機

[yeez ( )]

2022/12/10 11:32 更新：已排除了溢位問題，抽數設定無限大應該都可以正常運行

----------------------寫在前面----------------------

1. 本文含有大量數學算式，範圍涵蓋條件機率、二項式定理等數學觀念。
   若對數學有強烈過敏或排斥反應，建議直接END看結論或是左轉離開。
2. 本文不含任何統計學觀念，完全只有機率。
3. 本文不考慮任何因抽卡玄學帶來的機率變動影響，也一概不討論玄學對機率之影響。
4. 文末提供之工作表在使用上很簡單，完全不知道這篇在講什麼也可以快樂(?)使用。
5. 本文忽略保底影響。
6. 本文為了計算方便，會將抽卡行為理想化，請自行斟酌下修實際機率。

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大家好，無聊的數學家又來荼毒......分享一些有趣東西給大家了
這件事情本來是一個單純想法
「單抽中PU五星的機率是0.008，那是否1000抽就可期望抽中8隻PU五星？」
「實際上，1000抽中8隻以上PU五星的機率有多少？」

對於一個無課/福袋課玩家而言，石頭是有限的。
一年從營運收到的免費石，可能是幾百~一千多抽的程度。
那麼無課玩家就會想知道：
1. 假如我在一年內想抽到X個五星，用現有的抽數，是否太樂觀了？
2. 我總共有Y抽，在目前的卡池抽到我想要的角色的機率有多少？
3. 一年過去了，我抽到了Z個五星，算是哪一個大洲的人？
以下問題將會一一解答，並提供計算機，大家可以自己算。
(不想看數學的可以END了)

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一切問題從簡單的範例開始。
假如我們用一個紅白球箱子來模擬卡池。
箱子內有4個紅球，1個白球。
抽中紅球算中獎(真容易中獎)，抽完球放回箱中。

那麼抽中紅球機率=4/5=0.8，抽中白球機率=1/5=0.2。

假如只抽1次，抽中紅球機率自然就是0.8。
抽2次的話就開始有趣了，根據結果，會有四種情形：

P(紅紅) = 0.8*0.8 = 0.64
P(紅白) = 0.8*0.2 = 0.16
P(白紅) = 0.2*0.8 = 0.16
P(白白) = 0.2*0.2 = 0.04

當然 0.64 + 0.16 + 0.16 + 0.04 = 1。
抽中兩紅的機率，是P(紅紅) = 0.64。
抽中兩白的機率，是P(白白) = 0.04。
一紅一白的機率，是P(紅白)+P(白紅)=0.16+0.16=0.32。
由於抽中順序不影響其最終機率，所以通常會合併看待。

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讓我們用另一種觀點來看待此事。
下面是一個簡單的算式：

(0.8+0.2)^2

我們當然知道這個答案是1，因為0.8+0.2=1，
且1不管自乘幾次，答案都是1。
但是我們假如直接展開算式，就可以發現與上面的紅白球機率對應：

(0.8+0.2)^2
= 0.8*0.8 + 0.8*0.2 + 0.2*0.8 + 0.2*0.2 = 1。

而(0.8+0.2)^3的機率，也正好與抽樣三次的情況對應：

(0.8+0.2)^3
= 0.8*0.8*0.8 + 0.8*0.8*0.2 + 0.8*0.2*0.8 + 0.8*0.2*0.2
 + 0.2*0.8*0.8 + 0.2*0.8*0.2 + 0.2*0.2*0.8 + 0.2*0.2*0.2
= P(紅紅紅) + P(紅紅白) + P(紅白紅) + P(紅白白)
 + P(白紅紅) + P(白紅白) + P(白白紅) + P(白白白)
= 1。

於此可以類推，抽1000次的機率分布可以由
(0.8+0.2)^1000
展開得出。

可是單純展開仍然無法減少我們的工作，
所以到了本文另一主角：二項式定理出場。

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二項式定理

(x+y)^n 可以展開為 C(n,k)*x^k*y^(n-k) 的級數和。

礙於數學公式不好在批踢踢上打出來，直接引用wiki截圖：

https://i.imgur.com/zmirw96.png

Ref: Wiki二項式定理條目
https://reurl.cc/10keeG

簡單用上面的例子類推
(0.8+0.2)^3
= C(3,0)*(0.8)^3*(0.2)^0
 + C(3,1)*(0.8)^2*(0.2)^1
  + C(3,2)*(0.8)^1*(0.2)^2
   + C(3,3)*(0.8)^0*(0.2)^3

= 1*(0.8)^3
 + 3*(0.8)^2*(0.2)
  + 3*(0.8)*(0.2)^2
   + 1*(0.2)^3

= 1*P(三紅) + 3*P(兩紅) + 3*P(一紅) + 1*P(無紅)

= 1。



那麼我們把中獎機率換成代數，當抽1000次時，就會變成
(不中+中)^1000
= C(1000,0)*P(不中) +
  C(1000,1)*P(中一個) +
  C(1000,2)*P(中兩個) +
  C(1000,3)*P(中三個) +
          ...         +
  C(1000,1000)*P(全中)

至此，準備工作完成。

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回到原本問題

1000抽中8隻以上PU五星的機率有多少？

此機率可以看成
P(1000抽中8隻以上PU五星)
= 1 - P(1000抽中0~7隻PU五星)
= 1 - [ C(1000,0)*P(不中) +
        C(1000,1)*P(中一個) +
        C(1000,2)*P(中兩個) +
               ...          +
        C(1000,7)*P(中七個)]

至於 C(1000,N)*P(中N個) 怎麼算？
假如1000抽中1個，表示另外999次都不中
機率就是 C(1000,1)*(抽中)^1*(不中)^999
中二就是 C(1000,2)*(抽中)^2*(不中)^998
中三就是 C(1000,3)*(抽中)^3*(不中)^997
...
以此類推。

完整算式列一下

P(1000抽中8隻以上PU五星)
= 1 - P(1000抽中0~7隻PU五星)
= 1 - [ C(1000,0)*P(不中) +
        C(1000,1)*P(中一個) +
        C(1000,2)*P(中兩個) +
        C(1000,3)*P(中三個) +
        C(1000,4)*P(中四個) +
        C(1000,5)*P(中五個) +
        C(1000,6)*P(中六個) +
        C(1000,7)*P(中七個)]

= 1 - [ C(1000,0)*(抽中)^0*(不中)^1000 +
        C(1000,1)*(抽中)^1*(不中)^999 +
        C(1000,2)*(抽中)^2*(不中)^998 +
        C(1000,3)*(抽中)^3*(不中)^997 +
        C(1000,4)*(抽中)^4*(不中)^996 +
        C(1000,5)*(抽中)^5*(不中)^995 +
        C(1000,6)*(抽中)^6*(不中)^994 +
        C(1000,7)*(抽中)^7*(不中)^993]

再把實際機率: 抽中=0.008，不中=0.992 代入算式中
大功告成了，算式裡面已經沒有任何未知數了。
於是我們可以把以上過程編進Google工作表中，
然後填上中獎機率與抽數，得出想要的結果。

---------------END請回到這裡看結論---------------

於是乎，經由工作表的努力，得出的結果如下圖

https://i.imgur.com/VnQPWlM.png

查表可以得知 P(1000抽中8隻以上PU五星) = 54.76%。
也就是說如果你的運氣是排名前54.76%的玩家，
你在任何卡池加總丟1000抽，可以得到8隻以上的PU五星。
(一半以上的玩家可以期待，1000抽中8隻以上PU五星呢)
如果連抽歪五星也想計入呢？把中獎率從0.008調成0.01即可。

另外這個表格也可以計算單個卡池的期望值
假如你想抽奧伯龍池，準備了200抽，
想知道這樣抽中寶1~5的機率有多少
把機率設為0.008，抽數設為200即可。

工作表如下，請自行另存副本/下載取用。

https://reurl.cc/7jbRk9

另外我的公式有寫活，如果覺得中10隻太少想計算更多隻，
選取最後一行往右拖拉即可。

----------------------寫在最後----------------------

1. 此表格有理想化的地方，
在於一年內玩家能領的石頭不是一開始就能領到，而是依時間增加的。
所以途中抽到一半沒石頭的情況，本表無法顧及。
但是判斷單個卡池的期望值不受此影響，可以放心使用。

2. 此表格可套用於其他遊戲卡池，如果該卡池的機率公正的話。


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推 mindscold: 推一個認真研究數學
推 eret: 推
推 naideath: 推
推 howerd11: 反正還是會有傻X 說300抽保底不重要
→ howerd11: 根本用不到的蠢話
→ howerd11: 300抽沒有抽到當期五星 超級難巴拉巴拉
→ wcp59478: 我只抽3~20連 300保是啥 能吃嗎
推 dderfken: 傻的是你 他們只是知道自己的魔力不足
推 eric567: 昨天看某實況主各種歪，還是有保底比較好
推 noddle: 推
推 Fates: 推 不過歐洲人不在意這個的啦 他們比較cares玄學
推 allbs: 昨晚不就好狐
推 roy047: 推專業文
推 Luciel: 推推，我也是這麼想的
推 Brownsugar16: 推推 數學好文
推 tsining: 快推免得人家以為我看不懂(指考數甲9.5分報到
推 simrays: 自從看到巖窟王21單後，認清期望值終結是期望
推 jeffguoft: 手遊抽卡的機率是一段時間內出貨量/總量，外加函式調整
→ jeffguoft: 固定時間間隔去抽，或許才能得到你的結論
咳咳，放假心情不錯那來回應一下好了，怕真的有人相信
在討論機率的時候，我們是不討論抽樣方式的
因為不同的抽樣方式會導致不同的機率結果
擅自想像賭場的出貨規則，也是許多賭徒賠得血本無歸的主要原因

沒有人會在絕望的情況下還加注，大輸特輸
賭徒會大輸特輸的原因，往往是因為他自以為掌握了賭場的潛規則

福本伸行的＜賭博墮天錄＞有很傳神的描述，推薦大家看看
(就是那個給開司一瓶啤酒的漫畫續篇啦，不清楚有沒有真人版)

所以上面那個說法除非拿拆包程式碼證據出來，不然我就當在雲了

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而且這個說法如果為真，那就恐怖了

因為這邏輯等價於抽後不放回的機率模型
每一抽的機率都在跳動，絕對不是表定的0.8%
(基本上如果有程式這樣寫，可以試著告告看遊戲公司XD)

然後取後不放回的卡池程式碼寫起來，比取後放回還麻煩
取後放回其實就直接套個多層亂數就好了，一條式子解決
取後不放回要構建一個鴿籠卡池，還要一段時間洗掉重建一個鴿籠卡池
大量的資料更迭也會造成系統多餘負擔，真的有工程師這樣寫，我倒想看看

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另外一點是，就算此說法屬實，玩家也沒有較佳策略
因為營運仍然有許多方式可以解決此問題

首先你要保證，卡池的時間區段，是很現實可以操作的大小
如果時間區段1毫秒，那時間內玩家抽卡次數太少，
就算卡池是鴿籠，帶來的機率波動也小
1000個裡面有8個中獎但只有一個人抽，正好跟機率一樣

如果時間區段1個月，那所有人都在同一區段內抽卡
營運如果做個巨大鴿籠，比如1000億裡面有8億中獎
那就算1個月過去了有10萬個人中獎，對鴿籠的機率影響也是微乎其微
(8億-10萬)/(1000億-10萬) ~ 0.8% 一樣沒問題

所以假如營運調低換池時間週期，或是調高池的總量
都可以解決問題
用二十一點的說法，第一種就是玩一把就換一副牌，第二種就是用一百副牌的卡堆
都能有效的遏止玩家算牌，＜決戰二十一點＞也是老電影了啊

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最後用個小小機率問題，說明何謂抽樣方法影響機率，來做個結論吧

這是一題經典題：

在一個圓內任意選一條弦，
這條弦的弦長，大於這個圓的內接等邊三角形的邊長的機率是多少？

這個問題根據不同的取樣方法，至少有三種以上的答案：

1. 在圓周上隨機選兩點，此兩點連成弦，機率是1/3。
2. 在圓內畫一條直徑，在直徑上選一個點畫垂直於直徑的線為弦，機率是1/2。
3. 在圓內選一點，畫出此點與圓心連線的垂直線為弦，機率是1/4。

這是著名的＜伯特蘭悖論＞，可以參見Wiki:
https://reurl.cc/6Lb4y6

如果看過葛登能(Martin Gardner)的著作，就會知道好玩的數學其實也是很多的
推 Mark40304: 樓上那個jeff是外掛仔 發言一直都怪怪的
推 Katoru: 可惡，快推!!不然會被人發現我統計學被當(x)
推 zipigi: 抱歉我就是400抽0五星的非洲人，保底對我來說還是需要的.
→ zipigi: ..
推 SSIKLO: 推一個，簡單易懂
※ 編輯: yeez (125.229.0.174 臺灣), 12/21/2022 02:53:51