各位同學好！
上周在助教時間有一道GWD數學關於因數與倍數的題目同學經常拿來提問，
以下分享解題思路供同學參考。
Is the integer n odd?
(1) n is divisible by 3.
(2) 2n is divisible by twice as many positive integers as n.
[解]
(1)
假設n=3a，其中a為正整數。當a為奇數時，n為奇數；
當a為偶數時，n為偶數，
條件不充分；
(2)條件語意為「2n的因數個數為n的因數個數之2倍」。
假設n=(a^x)*(b^y)*(c^z)，其中a與b與c為質數且皆不為2 --> 亦即n為奇數
x與y與z為正整數。則因數個數有(x+1)(y+1)(z+1)個。
所以2n=2*(a^x)*(b^y)*(c^z)，此時因數個數有(1+1)(x+1)(y+1)(z+1)個，
恰為n的因數個數的2倍。
假設n=(2^x)*(b^y)*(c^z)，其中b與c為質數且皆不為2 --> 亦即n為偶數
x與y與z為正整數。則因數個數有(x+1)(y+1)(z+1)個。
所以2n=[2^(x+1)]*(b^y)*(c^z)，此時因數個數有(x+2)(y+1)(z+1)個，
不為n的因數個數的2倍，不符合條件規範。
綜合以上，n必無質因數2，n必為奇數，條件充分；
選B。
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