Re: [問卦] 要如何向小朋友解釋”先乘除後加減”？

[CKLee (嫩之使者)]

※ 引述《Sidney0503 (Sidney0503)》之銘言：
: ※ 引述《khfcgmbk (三毛兒)》之銘言：
: : 剛剛我在交一個小朋友算數
: : 他覺得很奇怪為什麼要先乘除後加減
: : 我只能跟他解釋算出來答案會不一樣
: : 像是
: : 1+1x2=3
: : 而答案不是4
: : 但我也忘記當初老師怎麼解釋先乘除後加減了
: : 有沒有鄉民可以教我？
: : -----
: : Sent from JPTT on my iPhone
: 簡而言之
: 就跟他說因為自然數加法是abelian group的operator
: 此operator存在加法單位元素0  即a+0=a  而且有交換性 即a+b = b+a
: 乘法放進去是ring的第二operator
: ring的定義是第二operator(*)對於第一operator(+)具有分配性
: 所以 a*(b+c)=a*b+a*c
: 但是加法對乘法沒有分配律  因此如果加法沒有括號起來就沒有分配的另一個對象
: 所以a+(b*c) = a+ b*c
: 也是一般所謂的乘法有優先權
: 很簡單吧

這篇回文寫得不錯，不過這次遇到的問題比較像是「為何定義這樣定？」

因此容敝魯再多補充一些，把細節講清楚，但略過部分的證明。

首先，因為 Ring 的定義本來就是從整數 Z 複製過來，然而 Z 又是從正整數 N 構造的，

因此本篇文主要回答在 N 上的「先乘(除)後加(減)」問題。

（知道 Z 是 N 的 quotient set 的，應該就知道敝魯的意思。

  不知道的也沒關係，此非本篇重點）





Step 1:正整數之定義與正整數上的運算

數學家當初發展集合論的時候，便想要把所有數學世界的物件都回歸集合，即使是最自然

存在的正整數也不例外。一般最耳熟能詳的正整數定義就是皮亞諾公理，在此用比較口語

化的方式來表述之。



Definition: (Peano Axioms)

  正整數是一個集合 N，並且滿足以下五個條件。

a. N 裡面有一個數字 1

b. 存在一個「後繼函數」S: N → N，此時對每個 N 裡的數字 n，S(n) 稱作 n 的後繼者

c. 如果有兩個數滿足 S(m) = S(n)，則 m = n         （亦即 S 是 injective）

d. 在 N 裡面，不存在任何數字 n 使得 S(n) = 1      （亦即 1 不落在 S(N) 裡面）

e. 若有一個 N 的子集合 K 滿足以下兩點：

     (1) 1 在 K 裡面

     (2) 如果數字 n 在 K 裡面，則 S(n) 也會在 K 裡面

   則 K = N  （亦即在 N 上可以作數學歸納法）



如果有鄉民現在看不懂，你可以先偷偷地把 S(n) 想成 n+1，這樣應該就全看懂了~

上面的定義完全沒有觸及到正整數的運算，現在我們來定義加法。



Definition: (Addition on N)

  我們定義一個二元運算 + 如下：給定一個正整數 n，定義

        +: N x N → N

           (1,n) → S(n)

        (S(m),n) → S(+(m,n))   if +(m,n) is defined

  根據皮亞諾公理的 e，此 + 的定義域成功擴展到 N x N，並將 + 稱作正整數上的加法

  另外為了方便，我們將 +(m,n) 書寫成 m + n，因此 S(n) = 1 + n。



Theorem: (Properties of Addition)

  以上定義的加法 + 滿足下列兩件事情。

a. 對任意的正整數 k, m, n，都有 (k + m) + n = k + (m + n) （亦即有結合率）

b. 對任意的正整數 m, n，都有 m + n = n + m                （亦即有交換率）



證明就是用數學歸納法來證就可以了，這留給有興趣的鄉民自己作作看。

我們定義的加法只有二元運算，也就是一次只能兩個數字加起來，遇到要加超過三個數字

就必須使用括號，告訴我們是誰先加誰後加。不過因為有結合率，先加後加沒有差別，因

此加法就省略括號了。

接著我們來定義乘法~



Definition: (Multiplication on N)

  我們定義一個二元運算 * 如下：給定一個正整數 n，定義

        *: N x N → N

           (1,n) → n

        (S(m),n) → *(m,n) + n   if *(m,n) is defined

  根據皮亞諾公理的 e，這個 * 的定義域擴展至 N x N，此時稱 * 為正整數上的乘法

  為了方便，我們將 *(m,n) 書寫成 m*n，就是大家熟悉的乘法記號囉~



Theorem: (Properites of Multiplication)

  以上定義的乘法 * 滿足下列三件事情。

a. 對任意的正整數 k, m, n，都有 (k*m)*n = k*(m*n) （亦即有結合率）

b. 對任意的正整數 m, n，都有 m*n = n*m            （亦即有交換率）

c. 對任意的正整數 k, m, n，都有 (k+m)*n = (k*n)+(m*n)  （亦即有乘法對加法

                           以及 k*(m+n) = (k*m)+(k*n)    的分配率）



這三條的證明同樣可以使用數學歸納法，此處省略之。

另因為乘法也是定義成二元運算，所以當我們要處理三個數字相乘時要使用括號告訴我們

誰先乘誰後乘。不過有了結合率後，我們也在這邊省略了括號了。

讀到這邊，各位應該可以發現其實上述定義其實也沒這麼神秘，因為加法就是照我們的常

識去定義的，乘法也是照我們所熟悉的「反覆累加」來定義，因此應該都算直觀 :)

記得有一位鄉民在原文有問「為何加法對乘法沒有分配率？」，相信這邊應該已經充分地

回答了他的問題了。（因為算一下就會發現沒有Q_Q）



Step 2: 先乘(除)後加(減)?!

其實一切的根源都來自括號省略的問題，當一堆二元運算碰在一起的時候本來就要加上括

號來搞清楚操作的順序。目前我們知道加法連續操作跟乘法連續操作都可以分別省略括號

那問題當然就來自加法跟乘法的混合操作了，也就是 k+m*n 究竟應該代表

        (k+m)*n   還是   k+(m*n)   呢？

（能問出這種問題的小朋友蠻不錯的，有在動腦而不是死板的把知識吞下去）

我自己的認知也如同原文，是問題來自乘法對加法的分配率

首先，假設我們遇到下列這個算式

        (x + y + z + w)*n

如果我們規定這種類型的算式（就是中間幾個加都可以）可以省略括號，變成

        x + y + z + w*n

那究竟這個沒有括號的算式是代表下列哪一個算式呢？

        x + y + (z + w)*n

        x + (y + z + w)*n

        (x + y + z + w)*n

沒人知道，而且這三個答案很可能都完全不同，因為用分配率寫開來分別變成

                x + y + (z*n) + (w*n)

            x + (y*n) + (z*n) + (w*n)

        (x*n) + (y*n) + (z*n) + (w*n)

這顯然是差多了，因此在這種情形下可以省略括號很容易帶來不必要的麻煩，所以此情形

我們約定不省略括號。

那麼，如果是下面這種算式

        n + (x*y*z*w)

省略了括號會怎麼樣呢，變成

        n + x*y*z*w

那會不會誤會成

        (n + x)*y*z*w

呢？並不會，因為我們已經在前面約定好這種形狀我們是不省略括號的，如此一來

        n + x*y*z*w

只會有一種意思了，就是 n + (x*y*z*w)。

那你可能會問說，其他的形狀呢？比如說

        x*u + y*v + z*w

是從誰省略過來的呢？我們知道因為有分配率的緣故，因此如果原本算式長成

        x*(u + y)*(v + z)*w   or   x*u + y*(v + z)*w

之類的，括號都不該省略。因此它只能是 (x*u) + (y*v) + (z*w)，才不會造成岐義。



因此，這樣我們成功確立了「先乘(除)後加(減)」的合理性。

不過上面都沒講到減法跟除法呢，這是為何？因為在正整數 N 上沒辦法全域定義減法跟除

法，所以上面就先略過了。不過在有理數 Q 上就有全域的減法以及除法了，建構方法也是

從 Z 過去的，因此有分配率（詳情參考我快兩年前寫的一篇文，但那篇疑似消失了）

從這樣的觀點去看，就有「先乘除後加減」了~



希望這篇文可以解決各個鄉民在前面討論的一些疑惑 :)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.43.82.250
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1518076948.A.972.html
推 juyac11: 你數學系
推 wife4D7: 推這篇 不然小二的姪子一直問都不知道怎麼回答
→ roea68roea68: 推 淺顯易懂 拿去教幼稚園總算每個小朋友都了解了
推 yyc210: 好懷念的東西..
噓 p25488148: 林北文組廢物
那你可以只看 Step 2
→ mayjan: 不錯 所謂走火入魔 就是這樣子
推 james114: 我怎麼覺得這幾篇完全沒解決到問題= =
推 cubegaga: 我幼稚園時我爸就這麼教我 我小學數學都考一百呢!!
推 hatephubbing: 太長@@
→ mayjan: 別人是問如何向小朋友解釋 不是叫你賣弄自說自話
Step 2 還不夠白話的話我也沒辦法囉(攤手
※ 編輯: CKLee (114.43.82.250), 02/08/2018 16:10:23
→ mayjan: 自以為學了專業 結果....如何向小朋友解釋 哈 不會
→ mayjan: 笑死人 把課本那套照說出來 誰不會? 是叫你向小朋友解釋
→ mayjan: 對 攤手的好 這就對了!
蝦？你家小朋友聽不懂 Step 2 怪我囉？課本最好會這樣解釋...
※ 編輯: CKLee (114.43.82.250), 02/08/2018 16:12:09
→ mayjan: 當自己有勇氣說 我不知道 就是一種勇氣!
推 ckbdfrst: 重點一句即可：★"先加後加沒有差別，因此就省略括號了"
推 y0707186: 糞
→ mayjan: 這文剛好反映台灣的教育
→ ckbdfrst: 要先加減後乖除也可以，加個括號就改變了
→ mayjan: 講的頭頭是道
→ ckbdfrst:           乘   哈
推 james114: 推文好憤怒啊，系列文不是笑笑就好？還憂國憂民了起來
→ wife4D7: 乘是怎麼打成乖的!?
推 m0428: 直接End，碼的，我以後出門不敢說我讀理組的
推 ujjgeok: 趕快推不然人家會以為我看不懂
推 storyo11413: 簡單講就是省略跨號的錯 小朋友不能直接跳簡寫式子
噓 novman: 講人話
推 mqAUhz: 怎麼有人氣成這樣
推 vvrr: 原來如此……多個+ 1個* 的情形的確會不知道是什麼意思(筆記
推 muserFW: 這很白話了吧 怎麼有人那麼氣
推 SunnycurryJr: end 小學生昏倒了
噓 a2768387: 我兒子也這樣想
推 jajypn: 我終於知道,大雄為甚麼,會考0分了..
推 shownlin: 我小二姪子問我為什麼0沒有乘法反元素
→ ttff: 國小真的這樣教？ 我是不是脫離國小太久了
推 vovovolibear: 我以後就這樣教小朋友 如果有啦
推 auraandy: 這篇比約定俗成那一篇更加的詳細解釋了為何是省略乘法的
→ auraandy: 括號,而不是加法,解釋的算清楚,基本上就是比較省略2種括
→ auraandy: 號所帶來的便利度,最後決定採用省略乘法的當作規定
推 jie0903415: 好喔