[爆卦] 球體接吻問題新突破

[jackliao1990 (j)]

https://www.arxiv.org/pdf/2411.04916

1694年5月劍橋大學講堂中，牛頓和天文學家大衛·格雷戈里討論不同大小恆星如何圍繞
太陽，由此提出了球體接吻問題:"在不重疊的情況下，最多可在中心球周圍放置多少個相
同大小的球？"三維空間中很容易將12個球放在中心球周圍。能否在剩餘空間裡擠入第13
個球？格雷戈里認為可以，牛頓認為不行。直到1952年數學家才證明牛頓是對的。此問題
在更高維度中變得困難，數十年間只有少數維度如4、8和24維的親吻數被證明。麻省理工
學院學士李安琪和亨利·科恩教授最近取得了突破。

在維度8和24等高對稱維度中，數學家依靠對稱性晶格結構如李奇晶格求解。這些結構具
有高度規律性，適合最佳球體排列。然而17到23維的估算停滯了數十年且明顯未達最佳。
2022年在做課堂專案時，李安琪起初跟科恩的其他學生一樣用性能好的電腦求解，然而很
快陷入困境。因為李安琪是學士不用擔心延畢，她開始尋找新方法。

16維最佳親吻數排列是基於巴恩斯-沃爾晶格，該晶格使用錯誤更正碼構建，為保證球體
間距離夠遠，不會重疊，結構晶格點的座標符號必須有偶數個負號。李安琪想:為什麼不
試試奇數個負號？如果選擇性地改變符號，可能會產生額外空間，允許更多排列。試驗結
果並未產生更多空間，但也沒有降低現有下限。李於是將這種16維結構分層組合，構造出
新的17維晶格。她驚訝地發現這種結構創造了額外空間，可以容納更多球體。

她一度懷疑自己算錯，她與科恩使用電腦檢查新晶格點間的距離，確認所有球體都能正確
排列且沒有重疊。在微軟研究院實習期間，她與科恩改進了這種晶格，設計出更高效錯誤
更正碼以便在保持球體間距的同時增加更多球體。他們也用此方法在18至21維中提高了親
吻數下限。最終他們將維度17至21的親吻數下限提高至5730、7654、11692、19448和
29768，比1967年的結果分別多出384、256、1024、2048和2048。他們的發現表明，對稱
性並非最佳解的必要條件，證明了不規則排列可能提供更好的解。

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