Re: [爆卦] 王虹和Joshua Zahl發佈三維Kakeya猜想

[jackliao1990 (j)]

https://arxiv.org/pdf/2502.17655

猜想由掛谷宗一於1917年提出

"一位武士在上廁所時遭到敵人襲擊，矢石如雨，而他只有一根短棒，為了擋住射擊，需要
將短棒旋轉一周360°（支點可以變化）。但廁所很小，應當使短棒掃過的面積盡可能小
。面積可以小到多少？"

翻譯成數學:"當一根無限細的針向所有可能的方向旋轉時，可以掃過的最小面積是多少？"

在三維空間中掛谷集包含了從所有方向都能看到的一根短線（單位長度的線段）
而三維Kakeya猜想斷言：
"即使Kakeya集（R3）可能看起來非常稀疏，因為它們是由一系列的線段軌跡組成的，
但其Minkowski維度和Hausdorff維度都等於3。"

轉換成數學表達式如下：
使用小尺度參數（0<<1），考慮一個由xx1的管子組成的集合。
管子可看作是細長三維幾何體

論文引入了幾種簡化假設
假設管集合是黏性的(它們在多個尺度上保持相似結構)
基於先前集中於形式為下界的研究（集合的最小可能維數）：
https://imgur.com/lYT2rzf

三維空間中對於各種介於(0 < d < 3) 之間的維數
期望d盡可能大
過去已經證明d=1（僅考慮單管）、d=2（結合L2論證與線相交性質）、
d=2.5（1995年Wolff梳子論證）的情況。

通過引入非聚集條件、Wolff公理、多尺度分析等技術
王虹、Joshua Zahl二人證明了 d=3 的情況
他們證明的總體思路是對維度參數d進行歸納
他們先定義了情況K(d)
目標是通過推導證明對於處於一定範圍的維度參數d
存在一種能從K(d)推導出K(d+)的關係，其中是一個大於0且和d有關的數
通過不斷重複這個推導過程，讓維度參數d逐漸接近3
他們使用多尺度分析技術對於管子的集合及其組織結構進行研究
他們對粗細管進行了分組並將細管組合成粗管
然後基於K(d)定義下的不等式
他們算出粗管總體積下限再結合之前計算粗管總體積的方法和結果分析出粗管的多重性
接著通過對粗管裡細管進行縮放並結合K(d)定義下的不等式得出了縮放後細管的多重性
綜合上述粗管和細管多重性信息就能得出所有細管集合的多重性範圍
結果在黏性的特殊情況下他們得到的結果和一開始想證明的不等式相符

在處理非黏性情況時
他們引入了粒狀化理論
他們考慮了加厚的掛谷集和一個球的相交情況
如果K(d)成立
這個特殊集合可能會表現得像某種維度的分形
要是這個特殊集合在某個尺度下比預期的更密集
結合這個特殊集合的鄰域體積和球的體積進行分析就能得到新結論
而這結論就是他們想證明的K(d+)
這個特殊密集情況也被看作是一種Frostman測度違反
證明還涉及對Katz-陶 Convex Wolff axioms的應用
這是一組描述管子集合行為的假設
它們在證明中作為歸納假設使用。

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→ good90150: 偷襲阿！
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