[爆卦] 數學大一統理論新進展:擴展費馬大定理

[jackliao1990 (j)]

https://www.math.uchicago.edu/~fcale/papers/Modular.pdf

朗蘭茲綱領由Robert Langlands在1960年代發起
試圖統一數論、幾何和函數
又稱為數學的大統一理論
1995年懷爾斯證明高懸358年的費馬大定理的方法讓數學家相信朗蘭茲綱領成立
因為懷爾斯在證明中將橢圓曲線方程式和完全不同的數學對象-模性聯繫起來
這表明可以在不同領域中找到原數學對象的等價對應
這樣當數學家想證明或研究未知對象時
就可以先從已知數學領域找參照物以降低證明/分析難度

如果朗蘭茲綱領成立則橢圓曲線以外的各種方程式都能在對稱函數世界找到等價對應
然而實際證明起來卻非常困難
比如阿貝爾曲面-它比兩個變數x和y的橢圓曲線多了z變數
構造更複雜 解也更難求
芝加哥大學Frank Calegari、倫敦帝國學院George Boxer與Toby Gee及法國國家科學研究
中心的Vincent Pilloni從2016年開始合作研究普通阿貝爾曲面
任何普通阿貝爾曲面都有一組數字描述其解的結構
如果他們能證明同組數字也能從模性推導出來
這些數字將充當獨特標籤
能將每個阿貝爾曲面與模性配對

然而四人不知道如何構造具有完全相同標籤的模性
最初他們嘗試用模3的同餘來比較兩方數據
後來發現用模2更容易找到模性
接著卻在橋接模2和模3的結果時遇到瓶頸

2020年四人在不相關的領域-數論的論文上找到解方
-他們發現華人數論家潘律提出的經典性定理可以拿來用
他們於是在豪斯多夫研究所的地下室花了一週研究潘律定理
一年半後他們終於發表230頁的證明-"所有普通阿貝爾曲面都能對應到模性"
四人將繼續和潘律合作將費馬大定理擴展到所有阿貝爾曲面





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