[爆卦] 高維代數簇有理性之謎 53年來首度突破

[jackliao1990 (j)]

https://arxiv.org/abs/2508.05105

有理參數化(將多項式圖上各點映射到直線的唯一點)是解多項式方程的好方法
數學家已證明多數ㄧ次、二次、三次三變量等方程可參數化
然而自1972年Clemens和Griffiths證明多數三次四變量方程不能參數化後
數學家ㄧ直無法證明三次五變量以上方程不能參數化

為此菲爾茲獎得主Kontsevich參考弦論工具－鏡像對稱（透過高維流形鏡像的曲線數了解
流形的霍奇結構）
並於國際數學家大會提出鏡像對稱綱領－證明卡拉比–丘幾何體的複幾何等價於其鏡像空
間的辛幾何
此綱領被視為本世紀影響最深的數學問題之一
若完成則不同數學結構可透過鏡像對稱視為物理學的量子對偶
鏡像對稱將成為高維方程和幾何、數論的重要工具

為證明多數三次五變量方程不可參數化
邁阿密大學Katzarkov試圖將鏡像曲線數分成若干份
然後用鏡像對稱證明存在分解四重簇霍奇結構的方法
這樣就可以用少部分霍奇結構來證明四重簇無法參數化
而如果任何部分都無法映射到簡單四維空間則證明成立
然而此推理建立在假設鏡像對稱對四重維對稱體也成立
為此Kontsevich建議直接算四維流形本身(而非其鏡像)的曲線數並將霍奇結構分解成原子
片段
而為了分析四維空間映射到新空間時各原子的變化
加州理工余岳庭參考入谷寬的公式後得出轉換規則
最終發現有些原子不能轉成對應空間的原子－證明成功

這是53年來高維代數簇有理性研究的最大進展
因為影響深遠
目前世界各數學系正在理解並檢驗此證明
數學家被迫學習高等物理以判斷物理概念是否能用來證明數學猜想
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→ LightWorker: 把霍奇結構分解成原子不是數學，而
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→ LightWorker: 數學沒有原子這種概念