Re: [問卦] 為什麼0.99999…等於1？

[kumasame14 (我部織稻)]

要談到關於為什麼0.999...=1這件事，我們必須先問自己一個問題：「我們真的知道什麼是
實數嗎？」

自然數很簡單，就是1, 2, 3, ...，再複雜一點頂多就是用空集合去數個數對吧。
整數就是算上一個0加上所有自然數給一個負號。
而有理數就是兩個整數排在一起。
從自然數到有理數的擴展過程看起來都是一對一對的。

然而，實數呢？

幾乎所有人都知道根號二是一個無理數，但其他不是n次方根、也不是π或e的無理數怎麼辦
，但我們到底怎麼用我們所知的有理數擴展到實數？

這邊我將參考Rudin所寫的數學分析第一章的附錄，為各位介紹戴德金分割（Dedekind cut
）

首先來第一個定義：

定義：（戴德金分割）
一個有理數的子集合α可以被稱為分割（cut）必須滿足以下條件：
(i) α不是空集合，而且α也不等於有理數集合。
(ii) 如果x屬於α，y屬於有理數，而且y﹤x，則y屬於α。
(iii)如果x屬於α，則存在一個有理數z，使得x﹤z。

第二個條件告訴了我們如果x屬於分割α，則比它小的數全部都會在這個集合裡面。第三個
條件告訴了我們x屬於分割α，則一定會有至少一個數在α裡比x還要大，換句話說，這個α
是不存在最大元素的。而我們可以把收集所有分割的集合稱作實數。而第一個條件排除了負
無限大和正無限大。

我們利用了戴德金分割構造出了這個所謂實數的集合。然而你會發現，我們的有理數不在這
個實數集合裡面了怎麼辦？其實很快可以發現實數集合裡有一個跟有理數差不多的子集合。
這個新的有理數Q*的元素可以這樣構造：

假設q屬於有理數Q，定義

q* = {p屬於Q : p﹤q}

接下來驗證q*是否為分割。
由於q-1屬於q*，因此q*不是空集合；由於q+1不屬於q*，因此q*≠Q。故滿足(i)。
假設x屬於q*，y屬於有理數，而且y﹤x，則y﹤x﹤q。故滿足(ii)。
假設x屬於q*。由於(x+q)/2﹤q，(x+q)/2屬於q*。由於(x+q)/2﹥x，故滿足(iii)。

由此可知所有q*都是分割，因此我們把收集所有q*的集合當作新的有理數Q*。

接下來我們看一個無理數例子：

定義α={p屬於有裡數 : p^2﹤2或p≦0}
檢查三個條件。
由於0屬於α，所以α不是空集合；由於2不屬於α，所以α≠Q。故滿足(i)。
如果p屬於α，q屬於有裡數，q﹤p。假設q≧0，則q^2﹤p^2<2，所以q屬於α。假設q﹤0，
顯然地，q屬於α。故滿足(ii)。
接下來定義一個數
z=p-(p^2-2)/(p+2)=(2p+2)/(p+2)，則
z^2-2=2(p^2-2)/(p+2)^2﹤0
因為z^2﹤2，並且z﹥p，所以z屬於α。故滿足(iii)。
所以α是一個分割，也就是屬於實數。


而這個所謂的實數在適當的構造下滿足了所謂體（Field）的性質，簡單來講就是經過加法
和乘法後所得出的數字還會在這個集合裡面，並且滿足結合律、分配律、交換律，並且都有
加法和乘法的單位元，還有每個操作都有反元素等良好性質。而與有理數最大的差別在於最
小上界性質，也就是任意一個實數集合，你都可以找到一個大於這個集合裡，最小的實數。
但礙於篇幅關係，而且我也累了，如果讀者有興趣，可以自行練習或是讀Rudin這本書，接
下來我們就直接快轉到無窮小數的部分。

為了回答為什麼0.999...=1這件事，我們必須先構造一個可以表示無窮小數的戴金德分割構
造。我就先構造[0,1]這個區間的無窮小數，其他地方可能要請讀者自行推廣。

（為了方便區別戴德金分割和有理數，是戴德金分割的元素一律加上*，例如：1*）

定義
0.(a_1)(a_2)(a_3)(a_4)(a_5)(a_6)...*
={p屬於有裡數 : 對於某自然數i，p﹤0.(a_1)(a_2)(a_3)...(a_i)}
其中，a_i=0, 1, 2, ..., 9, i屬於自然數。
由於這個構造很顯然地是戴德金分割，所以這邊就不再多做證明了。

有了這個構造，我們就可以來證明0.999...*=1*這件事了。
首先為了證明0.999...*屬於1*，隨便取一個p屬於0.999...*。
對於某個自然數n，p﹤999...9/10^n，這邊的999...9有n位。
很明顯地，p﹤999...9/10^n﹤1，所以p屬於1*。
接下來要證明1*屬於0.999...*，隨便取一個p屬於1*，故p﹤1。由於p是有理數，p可以寫成
p=m/n，m,n為整數。定義s為n的位數，則
p=m/n﹤999...9/10^(s+1)，故p屬於0.999...*。
由此可知，0.999...*=1*。

證明完畢。


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 122.118.13.207 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1780735333.A.474.html
推 organ63521: 因為 打不贏就加入
噓 ivorysoap: ai
→ poqwiuer: 結論1>0.99...
→ kumasame14: 花了3小時整理然後被你說AI
→ scarbywind: 超實數系統表示:
→ twoboy: ai會解釋的更清楚，還自己花3小時?
噓 geofran: ai說它會寫
→ YesNoter: 嗯嗯嗯