Re: [問卦] 為什麼0.99999…等於1？

[revanchist (revanchist)]

Good.


從實數的構造 或實數的定義 (這裡使用戴德金分割)來說明兩者相等

這應該是最好的說明

不過這已經是數研所的程度



實數的構造 或實數的定義還有另一作法 柯西序列

應該也可以用柯西序列的實數構造或實數定義來說明兩者相等



事實上這兩種實數構造或實數定義是等價的

事實上各種實數構造或實數定義都是等價的

因為這些構造或定義都說明實數是有序完備體

而有序完備體只有ㄧ個

因此這些實數構造或實數定義都是等價的




不過在八卦板講這個

如同某民進黨員在風月場所講宇宙大爆炸ㄧ樣






※ 引述《kumasame14 (我部織稻)》之銘言：
: 要談到關於為什麼0.999...=1這件事，我們必須先問自己一個問題：「我們真的知道什麼是
: 實數嗎？」
: 自然數很簡單，就是1, 2, 3, ...，再複雜一點頂多就是用空集合去數個數對吧。
: 整數就是算上一個0加上所有自然數給一個負號。
: 而有理數就是兩個整數排在一起。
: 從自然數到有理數的擴展過程看起來都是一對一對的。
: 然而，實數呢？
: 幾乎所有人都知道根號二是一個無理數，但其他不是n次方根、也不是π或e的無理數怎麼辦
: ，但我們到底怎麼用我們所知的有理數擴展到實數？
: 這邊我將參考Rudin所寫的數學分析第一章的附錄，為各位介紹戴德金分割（Dedekind cut
: ）
: 首先來第一個定義：
: 定義：（戴德金分割）
: 一個有理數的子集合α可以被稱為分割（cut）必須滿足以下條件：
: (i) α不是空集合，而且α也不等於有理數集合。
: (ii) 如果x屬於α，y屬於有理數，而且y﹤x，則y屬於α。
: (iii)如果x屬於α，則存在一個有理數z，使得x﹤z。
: 第二個條件告訴了我們如果x屬於分割α，則比它小的數全部都會在這個集合裡面。第三個
: 條件告訴了我們x屬於分割α，則一定會有至少一個數在α裡比x還要大，換句話說，這個α
: 是不存在最大元素的。而我們可以把收集所有分割的集合稱作實數。而第一個條件排除了負
: 無限大和正無限大。
: 我們利用了戴德金分割構造出了這個所謂實數的集合。然而你會發現，我們的有理數不在這
: 個實數集合裡面了怎麼辦？其實很快可以發現實數集合裡有一個跟有理數差不多的子集合。
: 這個新的有理數Q*的元素可以這樣構造：
: 假設q屬於有理數Q，定義
: q* = {p屬於Q : p﹤q}
: 接下來驗證q*是否為分割。
: 由於q-1屬於q*，因此q*不是空集合；由於q+1不屬於q*，因此q*≠Q。故滿足(i)。
: 假設x屬於q*，y屬於有理數，而且y﹤x，則y﹤x﹤q。故滿足(ii)。
: 假設x屬於q*。由於(x+q)/2﹤q，(x+q)/2屬於q*。由於(x+q)/2﹥x，故滿足(iii)。
: 由此可知所有q*都是分割，因此我們把收集所有q*的集合當作新的有理數Q*。
: 接下來我們看一個無理數例子：
: 定義α={p屬於有裡數 : p^2﹤2或p≦0}
: 檢查三個條件。
: 由於0屬於α，所以α不是空集合；由於2不屬於α，所以α≠Q。故滿足(i)。
: 如果p屬於α，q屬於有裡數，q﹤p。假設q≧0，則q^2﹤p^2<2，所以q屬於α。假設q﹤0，
: 顯然地，q屬於α。故滿足(ii)。
: 接下來定義一個數
: z=p-(p^2-2)/(p+2)=(2p+2)/(p+2)，則
: z^2-2=2(p^2-2)/(p+2)^2﹤0
: 因為z^2﹤2，並且z﹥p，所以z屬於α。故滿足(iii)。
: 所以α是一個分割，也就是屬於實數。
: 而這個所謂的實數在適當的構造下滿足了所謂體（Field）的性質，簡單來講就是經過加法
: 和乘法後所得出的數字還會在這個集合裡面，並且滿足結合律、分配律、交換律，並且都有
: 加法和乘法的單位元，還有每個操作都有反元素等良好性質。而與有理數最大的差別在於最
: 小上界性質，也就是任意一個實數集合，你都可以找到一個大於這個集合裡，最小的實數。
: 但礙於篇幅關係，而且我也累了，如果讀者有興趣，可以自行練習或是讀Rudin這本書，接
: 下來我們就直接快轉到無窮小數的部分。
: 為了回答為什麼0.999...=1這件事，我們必須先構造一個可以表示無窮小數的戴金德分割構
: 造。我就先構造[0,1]這個區間的無窮小數，其他地方可能要請讀者自行推廣。
: （為了方便區別戴德金分割和有理數，是戴德金分割的元素一律加上*，例如：1*）
: 定義
: 0.(a_1)(a_2)(a_3)(a_4)(a_5)(a_6)...*
: ={p屬於有裡數 : 對於某自然數i，p﹤0.(a_1)(a_2)(a_3)...(a_i)}
: 其中，a_i=0, 1, 2, ..., 9, i屬於自然數。
: 由於這個構造很顯然地是戴德金分割，所以這邊就不再多做證明了。
: 有了這個構造，我們就可以來證明0.999...*=1*這件事了。
: 首先為了證明0.999...*屬於1*，隨便取一個p屬於0.999...*。
: 對於某個自然數n，p﹤999...9/10^n，這邊的999...9有n位。
: 很明顯地，p﹤999...9/10^n﹤1，所以p屬於1*。
: 接下來要證明1*屬於0.999...*，隨便取一個p屬於1*，故p﹤1。由於p是有理數，p可以寫成
: p=m/n，m,n為整數。定義s為n的位數，則
: p=m/n﹤999...9/10^(s+1)，故p屬於0.999...*。
: 由此可知，0.999...*=1*。
: 證明完畢。
:

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