Re: [理工] fourier transform

[mmmbop (wanderlust)]

借用《endlesschaos (佐佐木信二)》大大  文章來改，比較省時間

※ 引述《jody0113 (Jody)》之銘言：
: 求g(x)=x exp(-x^2)的fourier transform 是多少?
: 算不出來  ><"   麻煩各位高手解題

不知道配方這樣o不ok
考訊號系統好像可以這樣寫
工數可以這樣寫嗎

令 h(x)=g(x) / x

        ∞  -x^2  -j2πfx
H(f) = ∫  e     e        dx
       -∞

        ∞  -(x+jπf)^2 - (πf)^2
     = ∫  e                       dx
       -∞

        -(πf)^2 ∞     -(x+jπf)^2       -(πf)^2   __
     = e        ∫     e             dx = e        √π
                -∞

由微分性質

d
__ H(f) ←→ -j2πx h(x) =  -j2π g(x)
df
                        2                   2.5           2
移項  得 g(x)= x exp[- x ]   ←→ G(f) = jπ   f exp[-(πf) ] , f= ω/(2π)


=============

          ∞  -x^2
考慮 I = ∫  e     dx
         -∞

      2   ∞  -x^2     ∞ -y^2
     I = ∫  e     dx ∫ e    dy
         -∞          -∞

          ∞  ∞  -(x^2 + y^2)
       = ∫  ∫  e            dxdy
         -∞ -∞

          2π ∞ -r^2
       = ∫  ∫ e    rdrdθ
          0   0

            ∞ -r^2   2
       = π∫ e    d(r )
            0

             -r^2｜∞
       = -πe    ｜   = π
                 ｜0

         ˍ
=> I = √π


           1  -0.25w^2 ∞  -v^2   2             -0.25w^2     ˍ
故 F(w) = ---e        ∫  e    d(v ) - 0.5iw * e         * √π
           2           ∞

                       -0.25w^2     ˍ
        = 0 - 0.5iw * e         * √π

              ˍ             2
            √π       -0.25w
        = - ---- iw * e
              2

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◆ From: 140.112.44.41
推 jody0113:感恩 了解了
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                                          司法機關處理程序
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                                                                          ∮K

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◆ From: 59.121.144.9
→ doom8199:同上上一篇回文， G(f) 中的瑕積分，跟 I 的型態不一樣
我符號錯了
G(f)應該是H(f)
那大大瑕積分應該怎麼作？
※ 編輯: mmmbop          來自: 59.121.144.9         (12/24 09:58)
→ doom8199:你可以參考 #1BH97B51 複變的做法
→ doom8199:或是分別算 exp(-x^2)*cos(k*x) or exp(-x^2)*sin(kx)
→ doom8199:對 x 的積分，可寫成雙重積分，再搭配 Fubini's thm.即可
推 blazesunny:可以唷 我就是用配方算的XD
→ mmmbop:exp(-x^2)coskx 的雙重積是對什麼積？
推 endlesschaos:話說這篇複製貼上得很順......