推 SS327:推推 大大這題只有這種解法嗎 01/13 01:00
推 SS327:恩恩 01/13 01:42
推 five5six6:了解!感謝~~ 01/15 16:26
※ 引述《five5six6 (_( 3」∠)_)》之銘言：
: ∞ ln(x^2 + 1)
: 求 ∫ ─────dx
: 0 x^2 + 1
: [解答算法]
: ↑
: 可用殘數法 ∞ ln(-x + i ) ∞ ln( x + i )
: = ∫ ─────dx + ∫ ─────dx :變數變換
: 0 x^2 + 1 0 x^2 + 1
: ∞ ln(-1) + ln( x - i) + ln( x + i)
: = ∫ ────────────────dx :分解ln
: 0 x^2 + 1
: [我的算法]
: ∞ ln( x + i ) 0 ln(-x - i )
: = ∫ ──────dx + ∫ ──────dx :變數變換
: 0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1
: ∞ ln( x + i ) 0 ln( x + i ) + ln(-1)
: = ∫ ──────dx + ∫ ──────────dx
: 0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1
: 可是比對[解答算法]
: ∞ ln( x^2 +1) ∞ ln( x + i ) ∞ ln(-1)
: ∫ ──────dx= ∫ ──────dx - ∫ ──────dx
: 0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1 0 x^2 + 1
: 其中
: 0 ln(-1) 偶函數 ∞ ln(-1)
: ∫ ──────dx = ∫ ──────dx
: -∞ x^2 + 1 0 x^2 + 1
: 為什麼差個負號呢?
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當你寫下 ln(x^2 + 1) = ln(x+i) + ln(x-i) 的時候
就該定義清楚何謂 ln(x+i) ? ,何謂 ln(x-i) ?
例如我定義 branch cut 為 │Im(z)│ ≦ 1
解答寫法中的 ln(-x+i) = ln(-1) + ln(x-i) , x in (0,∞)
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第二象限 第四象限
可知 ln(-1) = iπ
但你的寫法中, ln(-x-i) = ln(-1) + ln(x+i) , x in (-∞,0)
^^^^^^^^ ^^^^^^^
第四象限 第二象限
可知 ln(-1) = -iπ
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當用複變算瑕/定積分時，一定要先定義好 contour 走向
or 使用多值函數的哪支 branch 來計算
解答的寫法 有時候是補習班一直再算類似的題型
到最後懶的去界定範圍而沒列出來
但實際上若沒先定義好，就直接寫 ln(-x+i) = ln(x-i) + ln(-1)
這樣子等號是不成立的，因為 "無意義"
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