Re: [理工] [線代]生成與獨立

[kyuudonut (CC)]

※ 引述《qooo8435 (Wenze)》之銘言：
: [文有點長]
: 黃子嘉的線性代數及應用(上) p3-52
: http://imgur.com/a/DNnqB
: 以(b)選項為例
: 這一大題看了很久實在不清楚怎麼解會比較好(觀念不知道卡在什麼地方)
: 我一開始看到聯想到課本p3-60的例題29
: http://imgur.com/a/qsYSC
: 這邊例題29是W={a+b,a-2b+2c,b,c}拆成W={a(1,1,0,0)+b(1,-2,1,0)+c(0,2,0,1}
: 因此可以說W=span{(1,1,0,0) , (1,-2,1,0) , (0,2,0,1)}

這邊是說此空間的"向量"可以被表達成這樣的形式 (LC)

: 先看p3-52的(b) span{u,v,w} = span{u+v-w, u-2v+w , 2v-4u}
: 我把span{u+v-w , u-2v+w , 2v-4u}

但這邊是說這個空間由三個向量組成

: 拆成span{u(1,1,-4) + v(1,-2,2) + w(-1,1,0)}
: 拆成span{u(1,1,-4) + v(1,-2,2) + w(-1,1,0)}

為什麼要把她加起來 >.<

: 我這邊有一個疑惑 是否可以說:
: 原本的span{u+v-w , u-2v+w , 2v-4u} = span{(1,1,-4) , (1,-2,2) , (-1,1,0)}呢?

不行啊，就算u,v,w代標準向量進去，也應該是 span{(1,1,-1), (1,-2,1), (-4,2,0)}

: 接著我把(1,1,-4) , (1,-2,2) , (-1,1,0)拿來檢查發現是LD,
: 其中(-1,1,0)可以被前兩項線性組合取代掉,

你這樣會對是因為如下列kru大推文所講的

可以透過列運算去推得行向量間的關係，所以一樣會得出LD

: 所以等於span{(1,1,-4) , (1,-2,2)}, dimension為2
: 同樣的想法,我把span{u,v,w}拆成span{u(1,0,0)+v(0,1,0)+w(0,0,1)}

通常表達三維空間的LC會被表示成: (a,b,c) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1)

可是!!!


u,v,w是向量

為什麼向量還要乘以標準向量，再把他加起來(?)

: 再把他想成相等於span{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}因此span出R^3, dimension為3
: 因此span{u+v-w , u-2v+w , 2v-4u} 的dimension < R^3 的dimension
: 所以我認為span{u+v-w , u-2v+w , 2v-4u}生不出R^3,所以不等於span{u,v,w}
: --->我認為(b)為false
: 一模一樣的想法套用在(d)選項
: span{u,v,w}=span{u+v+w , u+2v+2w , u-v+w ,v+w}
: 兩邊dimension都3 於R^3
: --->我認為(d)是true
: 我總覺得我的想法有怪怪的,卻又找不出來自己的盲點在哪...
: 另外想看看大家能否提供比較好.更容易理解的解法


給眾大神鞭一下，因為我也覺得我講不出什麼 orz

要睡ㄌ，明天要TKB

QQ


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※ 編輯: kyuudonut (36.237.22.79), 07/22/2016 01:42:47
推 Firstshadow: 倒數第二段是疑問句嗎 ._.
推 qooo8435: 感謝你 我今天早上重新想過一次大概知道問題在哪了
→ qooo8435: 那麼我最後解釋說 “一個生得出R^3 一個生不出 所以兩個
→ qooo8435: span不同 ” 這想法有錯誤嗎？
→ ken52011219: Span(S)=span(V1,V2,...,Vn)=(k1V1+k2V2+....+knVn|
→ ken52011219:  kn€任意數）中V3的向量可以被V1 V2取代 因此不為線
→ ken52011219: 性獨立
→ ken52011219: 我會傾向這種說法
→ ken52011219: 與題幹定義不合
推 krusnoopy: 小錯～有三個獨立向量不代表他組出R^3他可能在R4,R5,你
→ krusnoopy: 能下的結論都只有:他們都擁有三個獨立向量,dimension
→ krusnoopy: 相同
→ kyuudonut: (b) 右式爲左式之子空間 所以dim不同 空間便不同
→ kyuudonut: (d) 右式爲左式子空間 dim同，空間同
推 qooo8435: 我懂了～～感謝各位