→ Kingsword: 好詳盡呀！感恩><!! 09/09 19:07
※ 引述《Kingsword (Shanboy)》之銘言：
: http://i.imgur.com/fVMwoyl.jpg
: 如圖的7-17 7-18
: 有點不太懂解答的邏輯
: 為何可以直接討論特定在ker(A)的向量呢？
: 而且為何one to one就onto?
: 請各位高手鼎力相救謝謝><!!
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(a)因為T:V-->W be linear. Then T is one-to-one if and only if ker(T)={0}
這個定理簡單想就是:如果ker(T)={0}的話,假設T(x)=T(y).
則 T(x)-T(y)=T(x-y)=0(因為T is linear),所以x-y屬於ker(T)={0}(假設條件)
這表示x-y=0 => x=y => T is one-to-one.
所以7-17要說明T is one-to-one等價於證明說T的ker只有0向量
(剩下就可以照上面這樣推到T is one-to-one)
(b)T:V-->W be linear,V and W be vector space of equal dimension
則(i) T is one-to-one.
(ii) T is onto.
這兩件事是等價的
證明簡單簡單想就是(i)<=>(ii):根據(a)T is one-to-one <=> ker(T)=0
<=> nullity(T)=0<=>rank(T)=dim(V)(根據維度定理)
<=>dim(R(T))=dim(W)(因為dim(V)=dim(W))
然後因為R(T)會是W的子空間,
而向量空間的維度如果跟自己子空間一樣的話
就表示兩個是相同的向量空間 所以因為dim(R(T))=dim(W)
表示R(T)=W,因此T onto.
所以7-18就是因為||T(x)||=||x||=>T is one-to-one然後因為T是線性算子所以根據(b)
T is one-to-one => T is onto.
定理照著他證明的思路想一次就很容易記起來了
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※ 編輯: lemonsheep (42.72.51.107), 09/09/2016 01:11:40
※ 編輯: lemonsheep (42.72.51.107), 09/09/2016 01:16:26