[理工] 線代 線性保相依/線性保獨立

[jerry900287 (滷蛋)]

問題如圖 http://imgur.com/a/nGMZl

小弟在看完 線性保相依 的證明法

再看到證 線性保獨立 的證明法有點不解的是說

其實也可以不用1-1就可以證明 線性保獨立 ?(如鉛筆部分)

我不知道是不是 我沒搞清楚 線性獨立 的定義

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我的想法是說:

只要任取S={ v1 , v2 , ... , vk }為LI in V
那不就是代表 根據LI的定義
c1(v1) + c2(v2) + ..... + ck(vk) = 0 且 c1 = c2 = ... = ck = 0嗎?

又根據linear,定義域的零向量 會對到 對應域的零向量
又因為 c1(v1) + c2(v2) + ..... + ck(vk) = 0
所以把T(0) = 0 變成 T(c1(v1) + c2(v2) + ..... + ck(vk)) = 0

又根據linear定理可以把T(c1(v1) + c2(v2) + ..... + ck(vk)) = 0
拆成 c1(T(v1)) + c2(T(v2)) + ... ck(T(vk)) = 0

又c1 = c2 = ... = ck = 0
所以{T(v1),T(v2),...T(v3)}線性獨立

故linear保獨立

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不知道大大們有甚麼看法?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.32.75.151
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1478873252.A.256.html
推 hopward: 你如果V1~Vk中有一個送過去是0的話就沒有獨立了，1-1才能
→ hopward: 保證你每個不是0的向量送過去一定不是0
!!! 所以大大意思是說: c1(T(v1)) + c2(T(v2)) + ... ck(T(vk)) = 0
c1 = c2 = ... = ck = 0 確實是沒錯,
可是T(v1)orT(v2)or...orT(vk)只要存在1個等於0
{T(v1),T(v2),...T(v3)}就不是獨立了嗎
※ 編輯: jerry900287 (114.32.75.151), 11/11/2016 22:28:08
→ ken52011219: 實際舉例 T(x) = ±√x or x^2
→ ken52011219: 若不看 T線性 最終會得到  Σ(a_i*k_i)= 0
推 hopward: 也不對 你要證明送過去的那邊線性獨立的證法是要在那邊造
→ hopward: 一組線性組合c1T(v1)+...+cnT(vn)=0 之後再推導
→ hopward: 如果你那句話對的話就跟線性獨立的定義矛盾了
→ ken52011219:  http://i.imgur.com/IRm58AI.jpg  直接給你看林瑋
→ ken52011219: 的證明
→ ken52011219: 單有S的線性獨立 只會屬於ker(T)而已
→ ken52011219: 還需要Ker(T) = {0} 才能得出 Σ(a_i*k_i)= 0
→ ken52011219: 依你的證明 錯在 定義域的零向量 對應到對應域零向量
→ ken52011219: 因為 對應域的零向量是指1-1否則 不一定為零向量
→ ken52011219: 講錯 不一定為0解
懂惹 感謝兩位大大!!
※ 編輯: jerry900287 (114.32.75.151), 11/11/2016 23:25:28
推 slayptter: 我覺得是你的第一句話就錯了，當你選擇任取一個線性獨
→ slayptter: 立集時，就已經等價ker(T)={0}，而ker(T)={0}等價1-1。
→ slayptter: 所以你一開始就做了線性且1-1假設。這是不正確的。
→ slayptter: 簡單的證明是：先假設線性組合是0（注意：組合為0並未
→ slayptter: 代表線性獨立），此時再搭配1-1才會ker(T)={0}才會獨立
→ slayptter: ，最後求得係數為0。
→ slayptter: 雖然已經過了6年 ^U^