Fw: [線代] 子空間聯集未必為V的子空間，有疑問..

[kvf13 (--)]

※ [本文轉錄自 Math 看板 #1OXnd8S_ ]

作者: kvf13 (--) 看板: Math
標題: [線代] 子空間聯集未必為V的子空間，有疑問..
時間: Tue Jan 24 17:09:26 2017

如題

請問，為何二個V的子空間W1W2聯集
不為V的子空間? (除非W1或W2互相包含)


我的想法
在二維的歐氏向量空間內，

W1 為  一過原點直線的向量集
W2 為另一過原點直線的向量集


二者的元素相加，即使不是W1W2的向量集，而是另一個過原點的直線的向量集W3


它還是屬於二維的歐氏向量空間呀......
應該仍然是V的子空間吧? 不是嗎?



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※ 轉錄者: kvf13 (111.240.93.11), 01/24/2017 17:09:46
※ 編輯: kvf13 (111.240.93.11), 01/24/2017 17:11:17
→ joeboy: 聯集沒有封閉性
→ joeboy: V1=X軸 V2=Y軸 兩個都是子空間
推 hypnos135g: 取聯集不是元素相加 兩條線聯集還是兩條線
謝謝! 這個觀念我錯了，感謝糾正><


但，為什麼聯集的二條線就不是整個二維空間的子空間了呢?
→ joeboy: 聯集下去你就知道為什麼不是子空間了
推 yupog2003: 首先一個觀念，向量空間中的向量做線性組合後還是會在
→ yupog2003: 這個空間裡面
→ yupog2003: 我舉個例子來否定聯集後還是向量空間這件事
→ yupog2003: {(t,2t)|t∈R}和{(t,3t)|t∈R}都是向量空間
→ yupog2003: 好我們來聯集，那麼(1,2)和(1,3)都屬於他們的聯集
→ yupog2003: (1,2)+(1,3)=(2,5)，完蛋，(2,5)既不屬於{(t,2t)|t∈R}
→ yupog2003: 也不屬於{(t,3t)|t∈R}，所以不在他們的聯集裡面
→ yupog2003: 可是(2,5)是他們的線性組合阿...矛盾
→ yupog2003: 然後元素相加這個說法很不好，雖然我知道你在說什麼，
→ yupog2003: 可是要講聯集才對
謝謝 yupog!
→ hypnos135g: 一樓有說要滿足closed 樓上有證取聯集不滿足 不過你
→ hypnos135g: 還錯一個地方 取V1 V2所有元素相加會變成R'2 也就是
→ hypnos135g: 整個歐式平面就會是subspace了
推 joeboy: 你要相加為子空間的話就要補上直和的條件了，W可分割成V1
→ joeboy: 跟V2兩個子空間
→ hypnos135g: 不用加直和呀 蒐集各種相加就是為了滿足closed
→ yupog2003: 嗯嗯對，不用直和
→ joeboy: 我好像打錯了，應該是要說相加為V，可是跟他講的好像無關
推 hypnos135g: 也不用相加為V 例:原點 U y軸 就不是R2
..還是覺得奇怪

因為定理是說，W1W2為V的子空間，如果W1W2不互相包含，
則W1W2聯集""必不為 V的子空間""


哪一點可以證明""必不為V的子空間""這件事?


二條線的聯集是二條線
或著他們相加會失去封閉性 (1,2) + (1,3)=(2,5)

但是這個二條線，和(2,5)... 明明就在V裡面 = =


※ 編輯: kvf13 (111.240.93.11), 01/24/2017 18:12:09
→ yupog2003: 相加會屬於和空間，和空間是V的子空間沒錯，但聯集則否
→ yupog2003: W1W2不互相包含 => 存在v屬於W1W2的對稱差
→ yupog2003: 如果能夠證明v1+v2會跑到外面去，那應該就可以證
→ yupog2003: "必不為"這件事，可是我卡住了XD
→ yupog2003: 黃子嘉3-20有證明，你可以看一下
→ yupog2003: 他的(=>)方向證完之後，你把他等價非q則非p就可以得到
→ yupog2003: 你要的結果
推 hypnos135g: 對所有v屬於W1, u屬於W2
→ hypnos135g: 若W1UW2 subspace 則t= v+u屬於W1UW2
→ hypnos135g: 所以t屬於W1或W2 若t屬於W1則u=t-v也屬於W1導出W2包含
→ hypnos135g: 於W1 同理 或者W1包於W2
→ hypnos135g: 剛剛想的 不知有無錯@@
→ hypnos135g: 有錯 請忽略