[線代] 子空間聯集未必為V的子空間，有疑問..

[kvf13 (--)]

如題

請問，為何二個V的子空間W1W2聯集
不為V的子空間? (除非W1或W2互相包含)


我的想法
在二維的歐氏向量空間內，

W1 為  一過原點直線的向量集
W2 為另一過原點直線的向量集


二者的元素相加，即使不是W1W2的向量集，而是另一個過原點的直線的向量集W3


它還是屬於二維的歐氏向量空間呀......
應該仍然是V的子空間吧? 不是嗎?



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.240.93.11
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※ 編輯: kvf13 (111.240.93.11), 01/24/2017 17:10:57
推 cuttlefish  : 聯集不見得是vector space
推 disjoint126 : 加法要符合封閉性才行吧
推 sunev       : 聯集和相加不一樣，{1}和{2}的聯集是{1,2}，不是{3}
謝謝:)

..還是覺得奇怪

因為定理是說，W1W2為V的子空間，如果W1W2不互相包含，
則W1W2聯集""必不為 V的子空間""


哪一點可以證明""必不為V的子空間""這件事?


二條線的聯集是二條線
或著他們相加會失去封閉性 (1,2) + (1,3)=(2,5)

但是這個二條線，和(2,5)... 明明就在V裡面 = =
※ 編輯: kvf13 (111.240.93.11), 01/24/2017 18:26:18
推 paulpork    : 以你這個例子來說，封閉性是要掉在兩線的聯集不是V
→ ERT312      : 找一個x在W1但不在W2裡面;y在W2但不在W1裡面
→ ERT312      : 於是 x+y 不在W1也不在W2裡面
推 aromaQ626   : 以你舉的例子 (2,5)在V裡面可是不在那兩條線裡面阿
推 a84172543   : 取W1 =x軸，W2=y軸  （1, 0)+(0, 1)=(1 ,1)不在W1
→ a84172543   : 或W2上
→ a84172543   :  http://i.imgur.com/f5JHxNU.jpg
→ a84172543   :  http://i.imgur.com/k4lh2iT.jpg
→ a84172543   : 更正：「卻」
→ wohtp       : 就你舉的例子 W1 = {a*(1,2)}, W2 = {b*(1,3)} 來看
→ wohtp       : 若 W1 聯集 W2 是個子空間，則任意抓兩個向量出來做
→ wohtp       : 線性組合也會落在W1聯集W2裡面
→ wohtp       : 所以我們做 (1,2) + (1,3) = (2,5) 一個反例就好
→ wohtp       : (2,5)既不在W1裡面也不在W2裡面，所以更不在聯集裡