[理工] 線代 朱敏德(周易) 證明|AB|=|A|*|B|

[JKLee (J.K.Lee)]

我發現周易的線性代數課本中，

det(AB)=det(A)*det(B)的証明怪怪的。

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位置在:

線性代數寫真秘笈 六版 作者:朱敏德(周易)

p.27 第一章 範例11

A與B皆為n階方陣，證明det(AB)=det(A)*det(B)。

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書中證明約略如下:

        │A I│ │ A  I│        │I  A │
|A||B| =│   │=│     │= (-1)^n│     │=...= |BA|    --------(1)
        │O B│ │-BA O│        │O -BA│


其中第一個等號

        │A I│
|A||B| =│   │  -----------------(2)
        │O B│

是怎麼來的? 要如何證明?

我看到的資料是這樣證:

│A I│      [I O] [A I]   │I O│ │A I│
│   │= det([   ] [   ]) =│   │ │   │= |B||A|  -------(3)
│O B│      [O B] [O I]   │O B│ │O I│

但是這樣不就使用到了det(AB) = det(A)*det(B) ?

也就是說在證明det(AB)=det(A)*det(B)的過程中，

使用det(AB)=det(A)*det(B)。

這樣的証明不就無效了?

或是我哪裡搞錯了?


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.160.105.145
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1510819736.A.F38.html
推 can18: 那個是用方塊矩陣的特性
→ can18: 若左下或右上為零矩陣，det = 左上方塊乘右下方塊
→ can18: 啊抱歉 我搞錯原PO意思
推 can18: https://i.imgur.com/Mt3hFD1.jpg
在C大證明中，

若是A與B需要作數次列交換才能得到上三角矩陣

這樣證明是不是就不成立了?

因為不知道要乘幾次-1

→ yyc2008: 第二個等號怎麼證?你都沒有問題?
Y大是指(1)式的第二個等號嗎?

→ yyc2008: 看起來像列運算
(1)式的第二個等號是方塊矩陣的列運算

→ gouya: https://goo.gl/1LavXo
感謝G大的連結

看來要用數學歸納法才能證這個(不用|AB|=|A||B|的前提下)

│A I│
│   │= |A||B|
│O B│


※ 編輯: JKLee (1.160.105.145), 11/16/2017 23:29:28
推 can18: 那個證明確實有問題 抱歉臨時寫的想的不嚴謹
推 can18: 不過假設做k次列交換 將(-1)^k提出來似乎可以
推 Dora5566: 其實我覺得第一個等號沒甚麼問題
→ Dora5566: …好像怪怪的