Re: [理工] 99 交大 內積

[gouya (あれはいらないからでち)]

※ 引述《TampaBayRays (光芒今年拿冠軍)》之銘言：
: https://i.imgur.com/ISPdiRd.jpg
: https://i.imgur.com/TG09dYP.jpg
: 請問這題的證明我這樣寫可以嗎？
: 感謝～
: -----
: Sent from JPTT on my iPhone


A:n ×n  A為正半定矩陣 ⇔ 存在 B:m ×n 使得 A=B^H B

這個定理在複數是正確的

在實數要加上A為對稱矩陣



在複數

A為正半定矩陣

x^H Ax >= 0

則x^H Ax 屬於實數 ⇔ A^H = A (A為Hermitian)


在實數

例如

[1 1]
[0 2]

為正定矩陣但非對稱矩陣



--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.228.97.167
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1511607788.A.1EB.html
推 TMDTMD2487: 感謝 我都忘記考慮複數
推 TampaBayRays: 請問大大為什麼「x^H Ax 屬於實數 ⇔ A^H = A (A為H
→ TampaBayRays: ermitian) 」？
這邊有兩個Lemma

(1) A、B: n ×n

A=B ⇔ y^H Ax = y^H Bx

(2) A、B: n ×n  在複數

A=B ⇔ x^H Ax = x^H Bx

(1)在實數及複數都對

(2)證明的過程需要用到複數的概念
所以在實數無法得證


x^H Ax 屬於實數 ⇔ A^H = A (A為Hermitian)

x^H Ax 屬於實數

⇔ (x^H Ax)^H = x^H Ax    (a屬於實數，則 a取bar = a)

⇔ x^H A^H x = x^H Ax

⇔ A^H = A   (根據Lemma)



→ TMDTMD2487: 複數上證明兩個方陣相等的方式 x^hAx=x^hBx 對所有的x
→ TMDTMD2487: 實數上是x^hAy=x^hBy對所有的xy (這邊只先探討複數
→ TMDTMD2487: x^hAx為實數 <=> (x^hAx)^h = x^hAx
→ TMDTMD2487: 所以 x^h A x = x^h A^h x 對所有複數上的 x
→ TMDTMD2487: 在根據我剛剛講的所以A=A^H
※ 編輯: gouya (61.228.97.167), 11/25/2017 20:19:09
→ TampaBayRays: 原來如此！感謝大大～
推 TampaBayRays: 感謝g大！看來我這裡還需要再細讀QQ