推 sarsman: 推觀念整理 11/26 07:26
※ 編輯: TMDTMD2487 (134.208.0.169), 11/26/2017 08:55:26
推 weilun911: 推 11/26 11:26
※ 引述《gouya (あれはいらないからでち)》之銘言：
: ※ 引述《TampaBayRays (光芒今年拿冠軍)》之銘言：
: : https://i.imgur.com/ISPdiRd.jpg
: : https://i.imgur.com/TG09dYP.jpg
: : 請問這題的證明我這樣寫可以嗎？
: : 感謝～
: : -----
: : Sent from JPTT on my iPhone
: A:n ×n A為正半定矩陣 ⇔ 存在 B:m ×n 使得 A=B^H B
: 這個定理在複數是正確的
: 在實數要加上A為對稱矩陣
: 在複數
: A為正半定矩陣
: x^H Ax >= 0
: 則x^H Ax 屬於實數 ⇔ A^H = A (A為Hermitian)
: 在實數
: 例如
: [1 1]
: [0 2]
: 為正定矩陣但非對稱矩陣
有時候講話講太快 想太快 不夠周延, 講一講發現自己講的不完整或講錯真的很靠杯
我打一打 大家看看有沒有問題好了
先從探討 正(半)定 跟 可以分解成 B^H ×B 開始講好了
------------------ B^H ×B 分解----------------------------------------------
A = B^H ×B 分解的方法就是一件事情 : A能做 正交(實)or么正(複) 對角化 即可
所以重點正交跟么正對角化的條件, 他們的等價條件 :
1.複數上 A normal ←→ A能做么正對角化
2.實數上 A symmetric ←→ A能做正交對角化
---------------實數上正(半)定探討--------------------------------------------
能不能分解成 B^H ×B 條件大概已經出來了
所以接下來的重點是正(半)定滿不滿足上述的條件
定義 A正定 ←→ <Ax,x> ＞ 0
A正半定 ←→ <Ax,x> ≧ 0 (恩所以正半定包含正定)
很明顯的正(半)定跟對稱直覺看起來是扯不上邊 在實數也上確實是如此
不過我們有學過quadratic form，那先來定義他
QA(x) = x^H ×A ×x 為 A 的 Quadratic form
畢竟我也只是簡單學線代, 不清楚這東西用處是什麼, 但從這裡可以感覺說
在看待二次式時, 我們可能會把他丟到矩陣上去探討
那麼事實上這個二次式對應的矩陣並不唯一, 也就是會有至少兩個矩陣有一樣的Q(x)
所以一個正定矩陣的Q(x)找到以後, 為了方便 好算 性質好
我們決定把這個正定矩陣變成一個具有相同Q(x) 的 "另一個矩陣" 而且還是"對稱"的
結論 : 正定不保證對稱 也就是不一定能分解成B^H ×B (在實數上
---------------複數上正(半)定探討--------------------------------------------
感謝 gouya 幫我們提醒了一點, 在複數上 A正(半)定 → A^H=A
∵ x^H ×A ×x ＞(or≧) 0
∴ x^H ×A ×x 為實數 ←→ A = A^H (複數上才會成立
這個的證明上一篇我有留言, 剛用手機看G大也打得比較清楚了
結論 : 在複數上 A正(半)定 → A^H = A → A normal → A可以分解成 B^H ×B
---------------可以分解成 B^H ×B 那回來呢?----------------------------------
剛剛推過去 B^H ×B 的時候少提到一個點, 放在這裡補充一下
A正定 → 所有的 eigenvalue ＞ 0
∴ 做正交(or么正)對角化 A = P ×D ×P^H, D的對角項皆＞0
∴ D可逆, 取 B = √D ×P^H, ∴B可逆
好然後這邊探討 B^H ×B = A → A為正半定 (若B行獨立則A正定
這裡的B不像上面都方的, 可以是任何形式
簡單證明一下(這裡實複數都一樣) :
對所有的向量x≠0, x^H ×A ×x = x^H ×(B^H ×B) ×x = <Bx,Bx> ≧ 0
到這裡正半定證明完成, 接著若再多加一個B行獨立的條件
→ Bx≠0, ∴ <Bx,Bx> ＞ 0, ∴正定
-----------------------------------------------------------------------------
抱歉很晚才把這篇發出去, 其實我大概六七點就再打這篇了
就翻翻書再整理複習一下筆記, 就搞了很久 XD
中間複數的部分還是看到G大的文才補上去的
剛剛還想說好像沒問題了還是不發算了
幹可是也花點時間打了還是發一下好了
有那裡寫的不精確或有錯的我再修正一下 (打一打自己觀念應該會好一點...吧?
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