[理工] 離散 subring and ring

[befdawn (蜜蜂P助)]

https://i.imgur.com/trPPf67.jpg

關於 subring 想請問一些問題:

1. 這份筆記最下面，為什麼是因為乘法的運算未要求 inverse property，造成 ring
 跟 subring 的 unity 未必相同呢？(以我目前淺薄的學習只想得到要有 identity 每
個元素才有其 inverse)

2. 不知道存不存在 (R, +,・)，其中 (R, +) 跟 (R,・) 皆為  abelian group？

3. 接2，好像也可以舉 (R, +, +) 為 ring 的樣子 XD ？


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→ Ricestone: 1.因為當初不需要，最主要的例子就是矩陣可沒有inverse
→ Ricestone: 算是這樣構造之後發現會有這樣的可能
嗯嗯，我就當一個結論好了
→ Ricestone: 2.我覺得你就是在講commutative ring?
→ Ricestone: 整數、有理數、實數都算是Commutative ring
→ Ricestone: 3.它之所以兩個要用其他符號就是要有所差別 不太懂問題
抱歉，問題 2 沒有說清楚：
因為 ring 中，(R,・) 只要是 semigroup，
但我目前沒找到 ring 中 (R,・) 能到 abeliangroup 的。
(實數R, +,・) 是 ring，但 (實數R,・) 只是 semigroup。
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剛剛有想到，(Zn, +n, ・n) 這個 ring 中，
(Zn, ・n) 是 abelian group，算是有找到了（？）
→ Ricestone: semigroup的原因是因為0要去掉啊
→ Ricestone: 去掉0的實數乘法也是group
可是 (實數R-{0}, +, ・) 不是 ring 了呀，缺了 zero element

這樣還是沒有找到這個 R
There exixts a ring, R, such that (R, +,・) is a ring,
where (R, +) and (R,・) are abelian groups.
（這才是我原本的2問題）
→ Ricestone: 不然Zn裡面的0一樣會讓它乘法不是group
對誒，晃神了 QQ
※ 編輯: befdawn (106.105.90.47), 10/17/2018 23:03:22
→ Ricestone: 這裡該注意的是 ring的identity一定會沒有乘法反元素
→ Ricestone: 所以最多就是commutative ring了
→ Ricestone: 應該說滿足你的是field,commutative ring少了反元素
→ Ricestone: 但實數是field沒錯
→ Ricestone: 另外補充一下，你的Zn的n要是質數，Zp才會是field
→ befdawn: R大說的 ring 的 identity 是指 ring 的 zero element？
→ befdawn: field 跟 integral domain (含comm ring)還沒讀熟QQ
→ befdawn: 明天再來請教這塊 m(_ _)m
→ Ricestone: 對，有些地方identity專指加，unity用來指乘的
→ Ricestone: 直接講zero比較不會搞混
→ befdawn: 好的！！
推 EXPCDR: field也是交換環的一種 所以只是交換環不需要有乘法反元
→ EXPCDR: 素 不是不會有乘法反元素
→ Ricestone: 指對他要求的裡面少了乘法反元素的要求
→ befdawn: 請問所以 ring 最多就是到 “有 unity 的 commutative
→ befdawn: ring” 就是了？
→ Ricestone: 我那句的說法不太對，應該說滿足你的至少要field
→ Ricestone: 我本來想要說的是妥協至少也要commutative ring的意思
→ Ricestone: 因為對我來說最大讓步是commutative ring所以才說最多
→ Ricestone: 不過反正都怪怪，總之那句話不用看
→ Ricestone: 只要滿足ring的條件都是ring，所以沒有最多怎麼樣
→ Ricestone: field也是ring，這樣