[理工] 線代 minimal solution問

[q5332159 (chiu)]

已經知道Ax=b的minimal solution是去掉解中ker(A)留下R(A^T)的部分
還有當least square solution有無限多解時會有R(A^T)+ker(A)的表達方式
那為什麼minimal solution不會是least的R(A^T)的部分呢

例如這題(d)(e)：
http://i.imgur.com/xtKhpif.jpg
http://i.imgur.com/DHrRJBq.jpg
http://i.imgur.com/Y62NxMi.jpg

d的解中[-2 0 2 0]^T是R(A^T)
s[-2 1 0 0]+t[1 0 -3 1]是ker(A)
照我第一句話來看的話不是應該要直接去掉s[-2 1 0 0]+t[1 0 -3 1]就會是minimal嗎？
而且e求出來的答案也是[-2 0 2 0]^T - 28/51[-2 1 0 0] + 32/51[1 0 -3 1]的組合
這樣不就和minimal在R(A^T)這點矛盾嗎？
我知道least square和minimal各自怎麼算
只是合在一起一直想不透不知道哪裡觀念有錯><
先謝謝各位～


-----
Sent from JPTT on my HTC_D830x.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.28.107.179
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1548478170.A.B88.html
推 magic83v: minimal是講長度最小 應該跟含不含ker(A)沒關係？
→ rockieloser: 可是e是求minimun-length的least square solution
推 magic83v: ［-2.0.2.0］應該不屬於RAt  是那個解集的空間裡面 只
→ magic83v: 有一個屬於RAt  所有才要找那個min sol
→ magic83v:  一開始取找least square 就只是隨便抓一個解+兩個生成
→ magic83v: 的向量
→ magic83v: 如果一開始取的就是R(A)^t的話 那就是你講的狀況沒錯
→ magic83v: 我是這樣想啦 有錯再幫我糾正qq
推 TEPLUN: 因為你第一句就錯了 形成直和的空間不會唯一 比如取span(1
→ TEPLUN: ,1) 或span(1,0)都跟span(0,1)形成直和 所以沒辦法直接那
→ TEPLUN: 樣扣
→ q5332159: 目前理解是～least解出來不一定是R(A^t)+ker的形式 所以
→ q5332159: 不能直接扣 但是像T大說的直和不唯一 所以如果把這個解
→ q5332159: 轉換成R(A^t)+ker 那麼就可以直接扣 想請問這樣理解對嗎
→ q5332159: ><
→ Ricestone: 如果你轉成那形式了，那就已經找到R(A^t)上的解
→ Ricestone: 也沒什麼好去扣的了
→ Ricestone: 以順序來說，那解的集合其實不是「空間」，你可以想像
→ Ricestone: 在三維裡面它是不通過原點的平面
→ Ricestone: 而其中離原點最近的那個點被稱作minimal，也同時會滿足
→ Ricestone: 它要在R(A^T)裡面，也就是通過原點垂直那平面的那條線
→ Ricestone: 實際上是來自於N(A)的正交餘空間是R(A^T)的緣故
→ Ricestone: 也就是說，那個解集合是一種「商空間」
→ Ricestone: 而這商空間裡面任何一個點都可以拿來作為代表向量
→ Ricestone: 用詞錯誤，上面我講的商空間應該都改成商空間的元素
推 eatagary: e 小題 講的是least square 上最小長度，不是AX=b上的
→ eatagary:  最小長度，所以 最小長度公式的b 不能帶Ax=b的b,要對b
→ eatagary: 做投影才可以得到，之後再把新的b代入 最小長度公式即可
→ eatagary: 。