[理工] 線代 可逆條件 證明

[r5e97nk63 (DoUNo)]

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有兩個問題


1.

想問(3) → (1) 的意義

因為

Ax=b 有解 (包含唯一解和無限多組解) => A可逆

這條件其實蠻強的耶

ans:其實我們還有一個 for all b∈F^(n*1) 協助限縮


假設今天

Ax=b 有無限多組解 => A可逆

也符合上述命題邏輯呀，可是不對呀，這從RANK就可以證錯誤了
(無限多組解可將一列化為0列，有0列無法形成單位矩陣)

ans:這樣解釋這個命題是錯的，無限多組解的狀況不會符合這個命題的充分條件，
    因為無限多組解可以找到一個b'使得Ax=b'變成無解，此時不符合
    for any b∈F^(n*1), Ax=b有解，自然不能推論A可逆


其實可以從同等命題下去看

A不可逆 => Ax=b 無解   (X)

因為Ax = b 具無限多組解 也是不可逆

ans:這命題其實跟書上不同，書上的同等命題應該是
    A不可逆 => ∃b∈F^(n*1), Ax=b 無解  

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2.

這裡(3) → (1) 的證明手法其實跟 1. 我想問的問題也是差不多

一開始寫for all b ∈ vector on nx1 field

可是卻又把b限縮到e(i)得證 (這種情形是特解呀，雖然特解包含在有解，但通解呢?)

這樣不能證明當 Ax=b , b有解 → A 可逆呀

    只能證明當 Ax=b , b有特解 → A 可逆

ans:這裡的盲點在於如果無法滿足「for all b∈F^(n*1)」就無法滿足該命題，
    因此一定有辦法在 「for all b∈F^(n*1), Ax=b有解」這個條件下找出b，
    使得A「必」可以被證明可逆。

    沒有什麼限縮的問題，因為這裡的推理是一步一步往後推，不能突然推到一
    半往回挑戰(除非等價命題才可以往回推)。

    這裡一直忽略要加上for all b∈F^(n*1)這條件，才能推得可逆。

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3.

命題邏輯

如果你是人類 → 你會懷孕

pf: 你是人類，假設你是女生，你會懷孕，得證。(不合理)

應該要把所有都假設

你是人類，假設你是男生，你不會懷孕，矛盾(充分條件與必要條件矛盾)

不然就是利用同等命題

如果你不會懷孕 → 你不是人類 (X)

男生不會懷孕 → 男生不是人類 (不合理)

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總結：

1.

A可逆 <=> Ax=b 具唯一解

2.

A可逆 => Ax=b 有解 (O)

A可逆 <= Ax=b 有解 (X)

所以

A可逆 <=> Ax=b 有解 (X)

主要想釐清
2.的部分

ans:這裡主要的問題一樣是忽略掉for all b∈F^(n*1)這條件，這條件會將無限多組解
    的情形排除掉，因此是等價命題，沒有問題。


先謝謝各位的回答

感謝Ricestone 大大的解惑QQ









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→ Ricestone: 它(2)跟(3)的b不是特定的b，是對所有的F^(n*1)都有解
→ Ricestone: 以你的第一個問題來說，那個0列對應的向量元素不是0
→ Ricestone: 就變成無解了，也就是存在無解的向量，所以不可逆
→ Ricestone: 從第二個問題，我看你應該是弄錯什麼叫有解了
→ r5e97nk63: 對呀 所以這樣才不合理呀  如果b使得x為無限多組解
→ Ricestone: 有解指的是對這個b來說，存在x使得Ax=b，未知的不是b
→ r5e97nk63: 這樣A必然為不可逆呀，可是卻也符合充分條件的「有解」
→ Ricestone: 問題就是你能找到對那個A來說無解的b啊
→ Ricestone: 所以代表不是所有的b都有解，前提就錯了
→ r5e97nk63: 摁摁  所以我的疑問在於 書上說 (1)(3)等價 這件事
→ r5e97nk63: 示不是錯的
→ Ricestone: 沒有錯啊，是你的邏輯錯了
→ Ricestone: 就像你第二個問題，對所有b都成立，所以對特定b也成立
→ Ricestone: 這是很正常的推論，沒有錯誤
→ Ricestone: 因為它就是在找反矩陣出來而已
→ r5e97nk63: 這推論我能理解，我卡住的是有解不一定是特解呀，為什
→ r5e97nk63: 麼從特解推得A可逆，這樣能說明有解就一定可逆。
→ Ricestone: 是「對所有的b都有解」，不要少掉這句話
→ Ricestone: 他不是由什麼特解推得A可逆，是因為對所有b都有解才能
→ Ricestone: 推到A可逆  不要講什麼特解...
→ r5e97nk63: 那麼對所有的b都有解，Ax=b有無限多組解 => A可逆
→ Ricestone: 我就是跟你說，如果Ax=b會有無限多解，那就代表你一定
→ r5e97nk63: 該怎麼說明呢? 因為無限多組解我們可以 把A 和 b的同列
→ Ricestone: 找得到另一個b'使得Ax=b'是無解
→ r5e97nk63: 摁摁  這裡我懂
→ Ricestone: 既然你有無解的b了，那就沒有A可逆了啊
→ r5e97nk63: 然後b'要做什麼事呢?
→ r5e97nk63: 這部分容我思考一下邏輯QQ
→ Ricestone: 什麼做什麼事，啊不就沒有for any b∈F^(n*1)了...
→ r5e97nk63: 哦哦!!!! I got it  感謝解惑  QQ
→ r5e97nk63: 原來你指的前提不符是 b' 不符合 for any b∈F^(n*1)
→ r5e97nk63: 一直沒注意到這點QQ  難怪繞不出來
※ 編輯: r5e97nk63 (36.227.81.6 臺灣), 08/04/2019 14:38:58
→ Ricestone: 我說的前提不符主要是在講你1那邊推論箭頭的左邊
→ Ricestone: 我一直強調是對所有的b，因為你每個推論前提都沒寫這點
→ Ricestone: 你可以再想一下，你在1所說的同等命題應該寫成什麼樣子
→ r5e97nk63: 我原本不把for all b∈F^(n*1)當做很重要的條件，以為
→ r5e97nk63: 他只是要描述b這個vector的型態而已，不知道for all的
→ r5e97nk63: 用處XD"  不過你舉出b'我就恍然大悟為什麼要for all了
推 zoo868e: 推 在自己重新證明的時候也覺得怪怪的 搞懂了
推 antagonism: 兄弟你想太多了
→ antagonism: 2跟3等價
→ antagonism: 就代表若有解是唯一解
→ antagonism: 所以你想太多不會是無限多解
→ antagonism: 簡單回答你 見笑了
→ r5e97nk63: 3->2的證明就是Ricestone大大說的b'呀，當初沒想通這
→ r5e97nk63: 個方法所以才會納悶呀。