[理工] 線代第五章 是非題

[mistel (Mistel)]

1.
https://i.imgur.com/dEr9HlP.jpg
請問這個反例怎麼看出來他們相似的？
卡住了...

2.
https://i.imgur.com/IDM41Zj.jpg
這題真的不解，所有非對稱矩陣都跟某個對稱矩陣相似嗎？
詳解畫線部分是寫說非對稱矩陣可對角化且跟那個對角矩陣相似
所以所有非對稱矩陣都可以對角化？！


3.
https://i.imgur.com/MTf3yOI.jpg
想藉著這題問一下么正對角化的觀念
我把這個矩陣調整成對稱矩陣後用主子定理得到A是正定，
想請問A是正定算子那他應該要能么正對角化？但這個A好像不能對角化也不能么正對角化？

我看定理寫
在複數的體之下
A：normal iff A可么正對角化
在實數的體之下
A：symmetric iff A可正交對角化

所以是跟這個矩陣是實矩陣還是複矩陣有關嗎

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推 ok8752665: 1.相似就是換底 兩個都可以換成同樣的D就會相似
感謝
→ DLHZ: 1. 對角化可得 調整一下特徵向量順序即可
→ ok8752665: 2的話應該只是舉個例子而已
→ DLHZ: 應該說 所有對稱矩陣皆可對角化 見 線代啟示錄中“實對稱矩
→ DLHZ: 陣可正交對角化的證明”
→ DLHZ: 既然所有對稱矩陣皆可對角化 即所有對稱矩陣都可相似於一個
→ DLHZ: 非對稱矩陣
好的，我會上去看
→ DLHZ: 抱歉改一下 要相似於一個非對稱矩陣應該說schur triangulari
→ DLHZ: zable
→ Ricestone: 3.正定的前提有包含要是hermitian(symmetric)
不好意思我還是不太懂，我看書上有寫到正定跟正交矩陣是在hermitian之下定義出來的
但像下面這題
https://i.imgur.com/YQImZUM.jpg
A就不是一個對稱矩陣但還是可以把他調整成對稱矩陣B，然後判斷A是否為正定
但A不是違反正定的前提了嗎@@
→ Ricestone: 2是書把題目意思弄錯了吧，這題目敘述應該是指任何一個
→ Ricestone: 對稱矩陣都能跟一個非對稱矩陣相似，但書上把它以為是
→ Ricestone: 存在一個
→ Ricestone: 我查了一下，2的中原94原題是 A ... can't be ...
→ Ricestone: 95才對，這個題目敘述的詳解是可以直接套這書上寫的
→ Ricestone: 至於97長庚的網路上查不到
→ Ricestone: 以書上的敘述來說的話，這題應該是False，考慮O
推 mi981027: 英文不太好..想確認一下書的意思不是指存在一個就行嗎?
→ Ricestone: 不是，存在一個至少也要寫成 There is a ...
→ Ricestone: 只有A的話，那就是不定冠詞
→ mi981027: 了解了 感謝R大
推 DLHZ: 長知識
→ ok8752665: 考試英文好麻煩==
我也是想說這樣寫應該是for all不是有存在就算XD 感謝
※ 編輯: mistel (114.136.219.48 臺灣), 09/10/2019 19:45:06
→ Ricestone: 當矩陣是實的時候，能硬性規定正定是無視對稱矩陣條件
→ Ricestone: 但是這不是一般的定義，不適用到其他定理上
→ Ricestone: 除了這種明明就不對稱卻問正定的狀況，都當作對稱就好
→ Ricestone: 而當矩陣是虛的時候，正定就一定hermitian，這沒問題
好，瞭解！
※ 編輯: mistel (114.136.219.48 臺灣), 09/11/2019 00:07:13
→ Ricestone: 應該不要說矩陣是虛，就說field是複數的就好