[理工] 線代 直和與正交補空間

[gash55025502 (白影弓)]

想問個觀念問題：
我知道向量空間V的子空間W 以及W的正交補空間
可以直和分解V

但如果反過來
只知道向量空間V可分解成兩個子空間的直和
是不是就代表這兩個子空間互為正交補空間了？
https://i.imgur.com/vTYnN7o.jpg
https://i.imgur.com/fAxGpgl.jpg

像上面那張圖的第四題 跟 下面那張圖 最上面的第三小題
是不是都只需要證明兩個子空間直和分解V就好？

如果可以的話 想知道這個要怎麼證明 感謝～

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※ 編輯: gash55025502 (42.77.189.158 臺灣), 10/25/2019 00:40:42
→ Ricestone: 不行，直和不需要正交
→ gash55025502: 這樣的話清大那題第三小題要用什麼方法證明比較好呢
→ gash55025502: ？
→ Ricestone: 就直接把偶函數跟奇函數的基底寫出來，證明它們正交
→ Ricestone: dim相加等於4就好了啊
→ gash55025502: 喔喔大概懂了 感謝！！
推 zuchang: 直和可以當成是空間的基底的分解 因為基底不保證正交 所
→ zuchang: 以你的結論錯誤
推 ekids1234: 我知道 一條在V的向量v可以拆成兩條垂直的向量，但想不
→ ekids1234: 透和 eigenspace 的關係？(交大那題)
→ Ricestone: Projection matrix就只有0跟1這兩個特徵值
→ Ricestone: 不過交大那題應該是False，雖然1-eigenspace就是Im(P)
→ Ricestone: 而且Im(P)跟Ker(P)互為補空間，但是它們並非一定是正交
→ gash55025502: 咦 所以V(0)=N(P) V(1)=Im(P) 而N(P)跟Im(P)互為正
→ gash55025502: 交補 這樣推有錯嗎?
→ Ricestone: 會跟ker(A)正交互補的是Im(A^T)
→ gash55025502: ker(P)代表會投影在0向量 不就等於是跟Im(P)正交了
→ gash55025502: 嗎
→ Ricestone: N(P)跟Im(P)正交互補的條件是P為正交投影矩陣
→ Ricestone: 你想一下斜投影是什麼樣就知道了
→ gash55025502: 哦哦 所以投影矩陣跟正交投影矩陣不同 我再去找找
→ gash55025502: 資料好了 感謝