Re: [理工] 線代第八章觀念！

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※ 引述《Aa841018 (andrew)》之銘言：
: https://i.imgur.com/HHr7Dus.jpg
: 有點不理解詳解推論，A^tA=AA^t雖然沒找到相關敘述，但就當定義記住，這還沒問題

由定義假設A^TA有一非零特徵值λ跟對應特徵向量x
A^TAx = λx
AA^TAx = Aλx = λAx
可知A^TA AA^T 具有相同的特徵值

: rank(AA^t)=rank(A)=2....這裡不曉得是不是定義，還是做出來的結果，有點模糊

假設Ax = 0, A^TAx = 0
顯然所有Ax = 0的解都包含於A^TAx = 0
若A^TAx=0 則x^TA^TAx = (Ax)^T(Ax) = 0
可知A^TAx = 0的解也包含於Ax = 0
推得N(A) = N(A^TA) 則nullityA = nullity A^TA
由rank-nullity theorem可知 dim = rank + nullity
所以rankA = rankA^TA
同樣的假設A^Tx = 0, AA^Tx = 0
可得rankA = rankAA^T

: 最大問題：AA^t不可逆，因此0為AA^t的一個eigenvalue……
: 這我無法理解，det=0等價於不可逆，但這反向不成立，但如果按照詳解說法，反向就成
: 立了，不曉得怎麼回事？

等價就是iff就是若且惟若就是過去可以回來也可以就是if and only if
由det=pi(eigenvalue)可知行列式=0 若且惟若 存在一特徵值 = 0

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 標題  [問卦] 有沒有養id的八卦？                                              
 時間  Sat Nov 24 00:44:53 2012                                               
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噓 iPad3:幹我當初養超久，馬的居然叫 new iPad

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.242.215.219 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1572705232.A.68A.html
推 ekids1234: 可知x同時也是Ax的解 -> 怎麼推到下一句的 ? 腦袋打結
(Ax)^T(Ax)即Ax的長度平方
(Ax)^T(Ax)=0當Ax=0

→ ekids1234: 另外單看 (A^TA)^T 的話, (A^TA)^T = A^TA 非 AA^T
對欸 我改一下XD

→ ekids1234: 還是說有哪邊替換能推得 AA^T 呢 ?
→ ekids1234: (指 rank 那段最後一句)
我那段先刪掉好了當時想錯
應該是無意義
就先照原本的證法吧

推 Aa841018: 推得rank.....這裡看不太懂，麻煩解釋一下
好像有點亂
我重打了一次你看看

推 mi981027: 第一個的證法會有問題 要分成lambda等不等於0來討論 因
→ mi981027: 為Ax有可能根本就是0 那就不是eigenvector
※ 編輯: DLHZ (111.242.215.219 臺灣), 11/03/2019 11:15:29
※ 編輯: DLHZ (111.242.215.219 臺灣), 11/03/2019 11:20:45