[理工] 105台聯大線代

[Yic0197 (科科科55)]

https://imgur.com/q4FYnF4

答案是 (a)(c)


想不到 Q1和 Q2 個別有甚麼樣子關係 謝謝~

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推 mistel: 如果你不知道正交對角化，題目也跟你說Q是一個orthonorma
→ mistel: l matrix，代表行向量是單位向量且彼此正交 所以行向量彼
→ mistel: 此內積為0 自己跟自己內積為1
推 mistel: (b)我覺得是因為A對自己的eigenvector，在eigenvalue=0時
→ mistel: ，Ax=0x=0成立 有錯請幫小弟指正
→ Yic0197: 謝謝m大，至於(b)會是因為rank(A) =r 嗎？
推 mistel: 感謝你，沒看到這個 那我覺得我應該沒有錯，就是說明A不
→ mistel: 可逆，所以A會有個eigenvalue是0
推 mi981027: 其實Q1, Q2有更深的含義可以用SVD來解釋
→ mi981027: 另外 可以證明Q1Q1^T, Q2Q2^T會是idempotent 這樣a選項
→ mi981027: 才選的出來
推 mi981027: https://i.imgur.com/pyrHjJm.jpg
→ mi981027: 簡單說就是Q1的行空間等於R(A), Q2的行空間等於ker(A)
→ mi981027: 所以rank(Q1)=r, rank(Q2)=n-r
→ mi981027: https://i.imgur.com/624zlHp.jpg
→ mi981027: 這是直觀解釋 所以b為什麼會錯就是因為Q2所有行向量都是
→ mi981027: ker(A)的基底，AQ2乘起來自然是零矩陣
→ Ricestone: 其實它題目沒出好，不然就是答案沒有(a)
→ Ricestone: 因為它沒有規定Λ的樣子，我們沒辦法確定Q1就是所有非
→ Ricestone: 屬於ker(A)的基底
推 mistel: 原來如此 我想的太淺了...
推 mistel: 請問一下 這樣(A)選項的Q1Q1^T直觀意義是什麼？
推 mistel: 哦哦 是投影到R(A)的矩陣？ 先假設Q1是range(A)的話
→ Ricestone: 嗯
→ ekids1234: https://i.imgur.com/ho5Se1B.png 為何會等於呢 ?
→ Ricestone: A是symmetric
→ ekids1234: 噢抱歉原來是題目說明 Orz
→ ekids1234: 不過這題 如果非對稱，答案所提及的性質應該也不變 ?
→ Ricestone: 沒辦法正交對角化啊
→ Ricestone: 主要是SVD的U跟V不一定一樣，不然如果這題講明了就是
→ Ricestone: SVD，而且只考慮U的話，那性質的確是一樣的
推 mi981027: 我想是我直觀解釋那part有點混淆 那裡只說明維度一樣
→ mi981027: 如果A不對稱的話，R(Q2)就不會是ker(A)了，而是ker(A^T)
→ mi981027: ，這還是要用SVD解釋
→ mi981027: 這題的關鍵就在R(Q2)是ker(A)
→ mi981027: A選項那邊 R(I - A1A1^T)不需要對稱的條件就能證明他是k
→ mi981027: er(A)了 但要有對稱才能證出R(Q2Q2^T)也是ker(A)
→ mi981027: C選項也是建立在同樣的條件
→ mi981027: 當然前提是他有說明清楚對角矩陣的值有照順序排好
→ mi981027: 講錯了... B選項也是建立在同樣的條件
→ Ricestone: 對，我只顧著Q2會是ker，忘了注意那是A^T的
→ Ricestone: 不過(C)什麼都用不到，只要Q是正交就會這樣
→ Ricestone: 喔，你是指C選項講錯
→ mi981027: 嗯嗯 抱歉我發現又有一個地方打錯QQ
→ mi981027: 上面那應該是R(I - Q1Q1^T)不需要對稱的條件