[理工] 線代 特徵值&特徵向量

[mistel (Mistel)]

1.https://i.imgur.com/dLXqTPT.jpg
請問第二小題是因為A不一定可對角化，所以rank(A)不一定等於0對嗎？

2.https://i.imgur.com/7erle52.jpg
請問這題考的跟eigenvalue有什麼關係嗎...？
他背後是在考什麼觀念呢？

3.https://i.imgur.com/yA90NB6.jpg
同問這題(b)小題是在考什麼觀念呢？

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.136.152.255 (臺灣)
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※ 編輯: mistel (223.136.152.255 臺灣), 11/11/2019 12:38:41
推 realmanKG: 1. 我的解讀是這樣，eigenvalue皆為0的話，絕對無法進
→ realmanKG: 行一般對角化，因A=PDP^-1中的D必為零矩陣，所以nulli
→ realmanKG: ty必小於3，則rank必不為零
不過0矩陣就是可對角矩陣...
想請問nullity必小於3是怎麼得到的？
→ ekids1234: 第一題是問 A 還是 B ㄋ
→ ekids1234: b 選項的話 [0 0][1 0] 疊起來
※ 編輯: mistel (223.136.152.255 臺灣), 11/11/2019 13:00:12
→ DLHZ: 存在0特徵值的非零特徵向量同時表示了零空間有零以外的東西
→ DLHZ: 2. 3. 我想到是譜分解 不過是猜測而已 我現在沒辦法寫
推 realmanKG: 抱歉，更正一下，nullity必小於n才對
→ realmanKG: 其實這題最快是舉一個反例，任舉一個strict upper tri
→ realmanKG: angular matrix都是特徵值皆為零但rank不為0
推 zuchang: 第一題因為det!=0所以rank會是n
→ realmanKG: 樓上不對喔，他並沒有說det(A)不為零
推 zuchang: det=所有特徵值的積 特徵值沒0 所以det!=0
推 zuchang: 啊 我看成a小題 可以的話樓主幫我刪推文QQ
推 mi981027: 查了一下第二題考的是generalized eigenvalue problem
→ mi981027: 課本應該沒有出現過？這真的是會考的東西喔....
→ Ricestone: 第二題應該不是mi大說的那個，畢竟也不是對稱矩陣
→ Ricestone: 我想這題可能並不是指對所有x都成立，如果這麼想，
→ Ricestone: 那麼相當於判斷怎麼樣才有可能會有解，也就是(A-λB)的
→ Ricestone: kernel不只有{0}的狀況，也就是不可逆的狀況
→ Ricestone: 至於第三題，你的(a)小題本身就有問題了，你寫的是對
→ Ricestone: 任何矩陣的特徵值問題都對的東西
→ Ricestone: 我認為它是希望你寫出這個v一定會落在x,y這兩個向量
→ Ricestone: span出來的子空間，也因此那個m就是x,y張出來的子空間
→ Ricestone: 維度
→ Ricestone: 而(b)小題的答案其實就是真的去計算λ時會要解的矩陣
→ Ricestone: 問題
→ Ricestone: 如果我沒想錯的話，B就是{{yTx,yTy},{zTx,zTy}}
推 joey11121: 第二題感覺用Eigen太大材小用，用Ch1的單位矩陣觀念就
→ joey11121: 解的出來了
→ mistel: 感謝 1、3小題我懂了 第2小題我還是不太確定...（手邊沒
→ mistel: 有答案
不好意思還是有些東西沒有很懂
請問real大說的，nullitity<n這句話是怎麼推得的呢？
如果特徵值都是0，代表A=PDP^-1這樣拆解會變零矩陣產生矛盾，所以A不可能做對角化>>>>
到這邊我還理解
但我不懂這是怎麼跟nullitity<n連結起來的？
目前知道的是kernel裡不只有0向量這樣...
※ 編輯: mistel (223.136.152.255 臺灣), 11/12/2019 20:03:17
→ Ricestone: 不用想太複雜，你就想Jordan form
→ Ricestone: 簡單來說，都是0也只能知道一定不是滿秩，其他都不知道
→ ekids1234: 想問下 第三題B {{yTx,yTy},{zTx,zTy}} 是怎麼想的呢 ?
→ ekids1234: 對角直接放 eigenvalue ? 那另外兩格呢 ?
→ Ricestone: 就是解λ啊，假設v是αx+βy，然後Av=λv
→ Ricestone: λ跟α、β會變成另一組線性系統的特徵值問題
→ mistel: 我懂了 感謝各位！