[理工] 循環子空間

[a7752529 (鄉民鄉民)]

如題
實在想破頭想不到要怎麼證
假設一個線性運算T：V->V T是nilpotent
dim(V)=n
而Cv1(T)為其某一循環子空間
heig(v1)=dim(Cv1(T))
要怎麼證明把每個循環子空間的基底聯集就是V的基底
生成還好證 但要怎麼證獨立呢QQ
跪求解答
黃老師LA 6.2的內容的樣子

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→ Ricestone: 不獨立，另一個子空間的w就循環生成一模一樣的子空間了
→ Ricestone: 假設w=ΣaiA^ivi，那麼Aw=ΣaiA^(i+1)vi，但A^(i+1)vi
→ Ricestone: 可以寫成同基底的線性組合，所以可知任意A^kw都屬於這
→ Ricestone: 基底的線性組合
→ Ricestone: 啊不對，上面只是講會包含於，你想要的要用nilpotent
→ Ricestone: 你的敘述有點奇怪，「每個」循環子空間的意思是什麼？
→ Ricestone: 循環子空間分解比較像是每次都去找外面的向量的機械式
→ Ricestone: 操作啊
→ a7752529: 好像解釋不清楚 簡單來說就是要怎麼證這個https://i.img
→ a7752529: ur.com/dg6B9sI.jpg
→ a7752529: https://i.imgur.com/dg6B9sI.jpg
→ Ricestone: 對啊，這是存在，是每次都從外面找一個
→ Ricestone: 所以獨立單純就是一開始就抓獨立的進來而已
→ a7752529: 所以是都抓基底不一定獨立 但抓獨立就會變基底的意思嗎
→ a7752529: ？
→ Ricestone: 它的分解方式是一開始先隨便抓一個v1，就把原本的空間
→ Ricestone: 分解成Cv1+剩下的空間，然後證明剩下的空間又可以拆
→ Ricestone: 而剩下的部份也是T-invariant算是用數學歸納法證的