[理工] 線性代數 觀念請教

[a84172543 (SayaCintaMu)]

有些名詞想請教一下
希望大家給予指教
也

1. 矩陣  symmetric 和 self-adjoint
這兩個是否能夠視為同一個東西？


2.矩陣的 symmetric 與 positive definite
這邊有點混亂的點是
「任意對稱矩陣可以正交對角化
但不能保證特徵值必為正
則不會牽涉到positive definite.」
相對
「positive definite 可經由卡式分解
得到symmetric positive definite
並且可以正交對角化 且特徵值皆正」

還是說大部分所遇到的case
是symmetric 並包含positive definite.
主要想問symmetric 與 positive definite
是要分開探討 還是 放一起探討
我自己覺得  前者無法扯到後者
但後者可以扯到前者


3. 關於任意矩陣A(非方陣）
是否可將(A^T)A、A(A^T)
視為symmetric做後續探討


4.承3. 若A是方陣，則(A^T)A=A(A^T)
A多了 normal 的特性
是否可將(A^T)A、A(A^T)
視為symmetric positive definite
做後續的探討


再勞煩版上大大了
先感謝指教
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.26.42.65 (臺灣)
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※ 編輯: a84172543 (110.26.42.65 臺灣), 12/10/2019 02:42:06
※ 編輯: a84172543 (110.26.42.65 臺灣), 12/10/2019 02:43:07
※ 編輯: a84172543 (110.26.42.65 臺灣), 12/10/2019 02:43:54
→ Ricestone: 1.self-adjoint是Hermitian
→ Ricestone: 2.大部分遇到的case就只是對稱，沒有正定
→ Ricestone: 正定矩陣的定義需要對稱，但是矩陣的正定性不用
→ Ricestone: 討論矩陣的正定性時可以把矩陣轉換成等價的對稱矩陣
→ Ricestone: 3.可 4.不行，或者我看不懂你為什麼說ATA=AAT
→ Ricestone: 但反過來說的話，不管A是不是方陣，只要ATA或AAT有滿秩
→ Ricestone: 那麼那個滿秩的矩陣就是正定的
推 mi981027: 3. A^TA, AA^T一定對稱 不需要條件 取個轉置就能理解
→ mi981027: 4. A^TA，AA^T一定半正定 這也不需要條件
→ mi981027: 當A nonsingular時，A^TA正定
→ mi981027: 因為x^TA^TAx = ||Ax||^2. 若A nonsingular表示
→ mi981027: Ax=0只有0解 也就是對於所有x不等於0 Ax都不為0
→ mi981027: 同理，A^T nonsingular時 AA^T正定
→ mi981027: 上述這些都不需要你加的 normal, 或方陣的條件
→ Ricestone: 我說的正定性這個詞，或許改成二次型式會比較好
※ 編輯: a84172543 (27.52.67.141 臺灣), 12/10/2019 14:16:16
→ a84172543: 我好像搞清楚一些思緒了
→ a84172543: 另外想再請問 實矩陣A
→ a84172543: 「A:stmmetric，then A:normal」
→ a84172543: 這樣對嗎？
→ Ricestone: 實矩陣的話是對的
→ a84172543: 因為我自己找資料學
→ a84172543: 對於「二次型式」沒有很了解
→ a84172543: 所以習慣看 英文專有名詞
→ a84172543: 一堆中文翻譯看了也不知意思
→ a84172543: 你說的二次型式 是因為
→ a84172543: 旋轉後的二次曲線可經過對稱矩陣
→ a84172543: 對角化 轉正的關係嗎？
→ a84172543: (x y)A(x y)T：二次曲線？
→ Ricestone: 不是，不需要對角化那麼麻煩
→ Ricestone: 等價的對稱矩陣就只是(A+AT)/2而已