[理工] 線代 台聯大電機 108年

[s3251994 (Lock)]

https://i.imgur.com/vLkv7Hh.jpg

題目如上,想問本題如果改成 A,B可對角化,and AB=BA,
則 AB可對角化嗎?

我自己嘗試證明但寫不出來,

但原題目的結論是對的(AB也可以正交對角化),

我的想法是: 如果AB可正交對角化, 那應該也包含 AB可對角化。


我自己在猜想是不是因為 A可正交對角化 和 B可正交對角化 的條件太強大,
所以才證出AB也可正交對角化,

但如果改成單純 A可對角化 ,B可對角化,就無法推出AB也可對角化?

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→ lowpitched90: 要再加一個條件，A與B的特徵向量相同，敘述就成立
推 mi981027: 樓上這個條件是自動成立的（？ 樓主給的是同步對角化的
→ mi981027: 條件
→ mi981027: 當A,B可對角化，且AB=BA，則A, B本來就有相同的特徵向量
→ mi981027: 了，不用另外補上
→ lowpitched90: 我看的書是寫:If A andB are diagonalizable,they h
→ lowpitched90: ave the same eigenvectors  iff AB=BA
→ mi981027: 是的 我敘述的就是這條定理的其中一邊
→ lowpitched90: 那你應該要說若AB=BA則A跟B可對角化且有相同特徵向
→ lowpitched90: 量
→ lowpitched90: 我沒有看清楚他的圖原來有先講AB=BA…我只有看到最
→ lowpitched90: 後一句話 拍謝
→ lowpitched90: 有AB=BA的前提那AB可以對角化阿
→ s3251994: 感謝兩位回答