[理工] 線性代數-向量空間

[Qdream (宅男科學家)]

各位好：

在練習向量空間時遇到一些問題，

我試著寫出想法，還請各位不吝指教，謝謝！


1.

https://imgur.com/oHS1ic9

(1) W1我的想法是，0函數時f(x^2)=[f(x)]^2是成立的，

    所以這個集合不是空集合，再來任取f(x)、g(x)屬於W1，

    移項可得f(x^2)-[f(x)]^2=0，最後取α屬於實係數，

    則αf(x^2)+g(x^2)= α[f(x)]^2+[g(x)]^2成立，

    所以W1是V的子空間。(但答案顯然不是XD)


(2) W4是因為0函數不滿足f(3)=1+f(-5)，所以不是子空間嗎？


(3) W5是因為零函數為連續函數，非空集合，且若f(x)、g(x)為連續函數，

    則取α屬於實係數，αf(x)+g(x)也為連續函數，滿足封閉性，

    所以W5也為V的子集合嗎？


2.

https://imgur.com/SfiBSzm

W1 U W2的表示法，y=0或y=-x，y=-x是怎麼來的呢？


3.

https://imgur.com/1I1ti7O

我將題目理解為下列哪些是S的生成集，表示各選項是否可以生成S吧？

之後將S表達為{a(1,1,1,0)+b(0,1,-1,-1)}，

並將選項內的向量和題目的兩個向量去做列運算，

https://imgur.com/xUYrBC6

如上圖，第四行就算再消去也不會變成零列，那不就表示選項1的兩個向量

無法組合出(0,1,-1,-1)這個向量嗎？還是我理解上有問題呢？


4. 題目：Find a 2 by 2 matrix A such that ColA=NullA

https://imgur.com/zoqgqEn

我的想法如上圖，那只要是這兩個矩陣的任意係數倍組合都是答案囉？

(參考答案給的是我寫的第三個矩陣[1 -1]，不太會打矩陣所以將就一下)
                               [1 -1]


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.136.106.86 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1651850256.A.AB4.html
→ chang1248w: 1(1)你要考慮的對象是(f+g)(x)
→ chang1248w: 1(2)對，而且有常數的時候基本上加分都out
→ chang1248w: 2 y=0就W1，y=-x就W2，大哥....
→ chang1248w: 3 選項1確實沒辦法
→ chang1248w: 4 請注意你相減的步驟加個常數後續也會對
→ chang1248w: 2*2矩陣的rank 只有0 1 或2三種可能
→ chang1248w: rank =2那null space只有0
→ chang1248w: rank=0那range也只會是{0}
→ chang1248w: 所以對2*2的矩陣而言，range =null只會發生在rank =1
→ chang1248w: 的情況下
→ chang1248w: 嗯...結論上所有符合條件的矩陣都相似於2*2的上三角
→ chang1248w: 或者下三角矩陣
→ chang1248w: 省略過多lol，反正有點eigenvalue 的概念就很簡單
→ chang1248w: 不然你也可以從討論A^2=0下手
→ chengweihsu: 1.(1)跟4.如下，其他就樓上講的
→ chengweihsu: https://i.imgur.com/OIVRJoy.jpg
→ chengweihsu: 1.(1)取的函數的要改成
→ chengweihsu: f(x)=2^ln(|x|), if x € R-{0}, and f(0)=0
→ chengweihsu: 沒注意到x € [-inf,0]的情況,g(x)同理
謝謝樓上兩位大大，讓我留點時間消化一下!
※ 編輯: Qdream (114.136.241.221 臺灣), 05/07/2022 22:27:15
→ chang1248w: 你那是歐元...？
推 aa871220: 歐元XDDDD