[理工] 生成函數的問題

[suxen1094 (意義不明啊)]

各位大神們好
小弟我在計算生成函數的過程中出了些問題
所以想請各位指教一下

題目如下(第一題的A)：

https://i.imgur.com/Z6SMmcD.jpg

而我的計算過程如下：

https://i.imgur.com/E9biCTG.jpg

因為題目是a[n] - 4a[n-1] + 3a[n-2]
所以我在等號左右邊加入sigma的時候
是令sigma的n = 2

雖然等號左半邊的計算我沒有問題
不過在計算右邊時就出現了不同的算法

我先透過已知x/(1-x)^2去減掉x
得到左下角的式子1

然後接著計算sigma(2x)^n
但在這裡就出現了不同的解法
如式子2和式子3所示
式子2是1/(1-2x)去減掉1+2x
式子3則是1/(1-2x)去乘上2x

如果按照式子1的解法
那理論上應該是式子2的減掉才是正確的
但我記得式子3的相乘才是正確答案
爬文後也是說相乘才是正確的

所以我想請問
正確的解法到底是式子2還是式子3？
然後是為什麼呢？
謝謝！


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.69.90.37 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1674537580.A.365.html
推 Godderek: 2、3式通分整理之後一樣吧
喔真的欸XD
害我想了一整個早上
謝謝G大
※ 編輯: suxen1094 (101.136.82.25 臺灣), 01/24/2023 14:42:07
推 tinhanho: 這題真的很靠邀... 我還以為我算錯了 f(x)超長一串
→ tinhanho: 寫到一半偷偷看答案 發現沒錯 但懶得爆開了
推 tinhanho: https://imgur.com/JuIeKyq
→ tinhanho: 寫到這邊 到底誰還想繼續寫下去...
我算的時候也以為我算錯了XD
※ 編輯: suxen1094 (101.136.82.25 臺灣), 01/24/2023 18:05:58