※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: ※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: : 2.
: : 設A為3x3的方陣。
: : 對任何三維向量u、v 均有 |Au x Av| = |u x v| (兩個向量外積的絕對值)
: : (1) 設u、v、w為三維向量，互相垂直且長度為 1，
: : 證明 Au x Av 和 Au x Aw也是互相垂直且長度為 1
: : (2) 證明 |Au| = |u| 對所有三維向量u 均成立
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版友來函
關於數學板的 #1DUa5iTz 這篇 我後來拿去跟老師討論
他覺得 如果假設u v w 為 100 010 001的話 A的內容就變了
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謝謝版友對我的解答 非常認真看待
問題關鍵是 對任何三維向量u、v 均有 |Au x Av| = |u x v|
所以 我們準備考慮很多種情形 以便得到 A 的樣貌
let A =[x y z] where x, y, z are column matrices
(i) u=[1 0 0]^t, v=[0 1 0]^t,
則 Au=x, Av=y
|Au ×Av|=|x ×y|=|u ×v|=1...........(1)
(ii) u=[0 0 1]^t, v=[1 0 0]^t,
|Au ×Av|=|z ×x|=|u ×v|=1---------(2)
(iii) u=[0 1 0]^t, v=[0 0 1]^t,
|Au ×Av|=|y ×z|=|u ×v|=1..........(3)
(iv) u=[1 0 1]^t, v=[0 1 0]^t,
|Au ×Av|=|(x+z) ×y|=|x ×y+z ×y|=|u ×v|=√2..........(4)
(v) u=[1 1 0]^t, v=[0 0 1]^t,
|Au ×Av|=|(x+y) ×z|=|x ×z+y ×z|=|u ×v|=√2..........(5)
(vi) u=[0 1 1]^t, v=[1 0 0]^t,
|Au ×Av|=|(y+z) ×x|=|y ×x+z ×x|=|u ×v|=√2..........(6)
由 (1),(3),(4)可知
x ×y 和 y ×z 互相垂直
由 (1),(2),(6)可知
x ×y 和 z ×x 互相垂直
由 (2),(3),(5)可知
y ×z 和 z ×x 互相垂直
因此 x ×y, y ×z, z ×x 是兩兩垂直的單位向量
可做為三度空間中的么正基底
但 x 和 (x ×y) 互相垂直
x 和 (z ×x) 互相垂直
故 x=a(y ×z).................(7)
同理
y=b(z ×x)..................(8)
z=c(x ×y)..................(9)
|(7) ×(8)|=|x ×y|=1=|ab| |(y ×z) ×(z ×x)|=|ab|......(10)
同理 |bc|=1....(11)
|ca|=1.....(12)
(10) ×(11) ×(12) 得 |abc|=1............(13)
(13)/(11) 得 |a|=1
同理 |b|=|c|=1
因此 x, y, z 是兩兩垂直的單位向量
又 A=[x y z]
A^t.A=[x^t.x x^t.y x^t.z]=[1 0 0]=I
[y^t.x y^t.y y^t.z] [0 1 0]
[z^t.x z^t.y z^t.z] [0 0 1]
: : (1) 設u、v、w為三維向量，互相垂直且長度為 1，
: : 證明 Au ×Av 和 Au ×Aw也是互相垂直且長度為 1
(Au ×Av)‧(Au ×Av)
= (Au ×Av)_i (Au ×Av)_i
=ε_{ijk} (Au)_j (Av)_k ε_{imn} (Au)_m (Av)_n
=(δ_{jm} δ_{kn}-δ_{jn}δ_{km})(Au)_j (Av)_k (Au)_m (Av)_n
=(Au)_j (Av)_k (Au)_j (Av)_k - (Au)_j (Av)_k (Au)_k (Av)_j
=(u^t.A^t.A.u)(v^t.A^t.A.v)-(u^t.A^t.A.v)^2
=(u^t.u)(v^t.v)-(u^t.v)^2=1
類似
(Au ×Av)‧(Au ×Aw)
= (Au ×Av)_i (Au ×Aw)_i
=ε_{ijk} (Au)_j (Av)_k ε_{imn} (Au)_m (Aw)_n
=(δ_{jm} δ_{kn}-δ_{jn}δ_{km})(Au)_j (Av)_k (Au)_m (Aw)_n
=(Au)_j (Av)_k (Au)_j (Aw)_k - (Au)_j (Av)_k (Au)_k (Aw)_j
=(u^t.A^t.A.u)(v^t.A^t.A.w)-(u^t.A^t.A.v)(u^t.A^t.A.w)
=(u^t.u)(v^t.w)-(u^t.v)(u^t.w)=0
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: : (2) 證明 |Au| = |u| 對所有三維向量u 均成立
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Au‧Au=u^t.A^t.A.u=u^t.u=u‧u
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以前寫的
: let A =[x y z] where x, y, z are column matrices
: let u=[1 0 0]^t, v=[0 1 0]^t, w=[0 0 1]^t
: then
: |x×y|=|y×z|=|z×x|=1
: let u=[1 0 1]^t, v=[0 1 0]^t
: then |(x+z)×y|=√2
: |x×y+z×y|=√2
: by Pythagorean Theorem
: (x×y) and (y×z) are othogonal
: Similarly, (x×y)=e3, (y×z)=e1, (z×x)=e2 are all othonormal
: [(y×z)^t] [x y z]=[x.(y×z) 0 0]
: [(z×x)^t] [0 y.(z×x) 0]=x.(y×z) I
: [(x×y)^t] [0 0 z.(x×y)]
: hence x=(x.e1) e1
: y=(y.e2) e2
: z=(z.e3) e3
: then x=±e1, y=±e2, z=±e3
: then A.A^t=I
: Done.
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