→ flurry :感謝解答 01/10 19:56
※ 引述《herstein (翔爸)》之銘言：
: ※ 引述《flurry (徹徹底底的失敗者)》之銘言：
: : 各位板友好, 最近在練習幾個證明題, 但是
: : ∫[sin(nx)/sinx]^2 dx 從0積到pi的積分實在不知
: : 如何下手, 還請知道方法的板友提供一下方法,謝謝!
: : 漏了提供答案, 積分的結果是 npi, 謝謝各位
: 如果要拆~~可以想想看把sin nx用Euler identity把它拆開來:
: 令z=cos x+ isin x, 那麼 sin x =(z-z*)/2i, z*為z的共軛複數。
: 可以利用棣美弗定理知道sin nx =(z^n-z^n*)/2i。因為zz*=1所以
: z^-1=z*。所以我們可以把
: sin n x/ sin x ={z^n-z^(-n)}/{z-z^-1}=z^{-n}(z^{2n}-1)/{z^-z^(-1)}
: 同乘z之後 可得 z^{-n+1}(z^{2n}-1)/(z^2-1)
: 就想成等比級數
: z^{-n+1}(1+z^2+z^4+...+z^{2n-2})
: =z^{-n+1}+z^{-n+3}+...+z^{n-3}+z^{n-1}
: 這是最直觀的想法，至於這樣能不能做你可以試試看
: 是不是有其他方法?當然有~~不過這些想法彼此都有類似之處。
#1DB9U7Dm 可以參考看看，尤其解法二是真正的勁
: 如果你學過Fourier級數就用這去想
: 如果沒學過~~剛好也可以想想。
這題其實可以算是Parseval's theorem的一個應用吧
Parseval's theorem (證明就代進去展開就好)
http://en.wikipedia.org/wiki/Parseval%27s_theorem
讓a_0 = a_2 = ... = a_{n-1} = 1
一邊是n，另外一邊整理一下就是那個積分除以π
比較有趣的是如果讓a_i代別的數，就會得到別的等式
比方說a_i = (-1)^i，就會得到(cos(nx)/cosx)^2的積分
代a_i = α^i或更怪異的值的話，就會得到一些更科科的積分等式，還算是有一點點酷
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※ 編輯: TWN2 來自: 18.95.7.198 (01/10 14:17)