[微積] 這麼做的嚴謹理由何在？(難)

[alfadick (悟道修行者)]

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解法一開始，兩邊同取 ln 函數，然後 blah blah blah 的往下做下去。


我有疑問，兩邊同取 ln，左跟右等式仍相等，但結果上我們完全無法掌握才對。


打個比方，x=4，兩邊同取  f(x)=x^2 這個函數，得 x^2=16。

           一開始的方程式的解是 {4}，可是「兩邊同取...」之後的解，是 {4,-4}

         ，會有增根的問題。


為什麼圖片裡的原文書上可以大膽的兩邊同取ln，
不會改變結構(解集合、ordered pairs)嗎？



有趣的是， |(x^2-3x-4)/(x^2-7x+9)| <=1，

這種絕對值不等式，如果用
               (x^2-3x-4)/(x^2-7x+9) <=1 且 (x^2-3x-4)/(x^2-7x+9)>=-1

來看，要解兩次一元二次不等式，再把解集合取交集才能得原不等式的解，麻煩。

可是如果換個做法，兩邊平方，只要解一個不等式就ok，

而且也不必驗算了，我們確定在這種不等式的左右兩邊同取平方100%不會增根或漏根：

(x^2-3x-4)<=(x^2-7x+9)，解出來的解集合是誰，原不等式的解集合就是誰！


1. 到底我們是怎麼判斷什麼時候同取函數會增根，什麼時候不會呢？

2. 圖裡的左右同取 ln，背後是什麼理由支撐它？

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.25.17.111
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.17.111        (05/11 22:40)
→ Vulpix      :就...是不是iff啊。
我想超久了想不出來@@，可以寫詳細嗎。


X=Y  =====>  F(X)=F(Y),
有時候要回去判斷  F(X)=F(Y)  =====>  X=Y ，好像很難耶

另外，為什麼 IFF 的式子就不會增減根，有證明嗎？

→ Vulpix      :人家ln有反函數exp，可是平方沒有反函數啊。
所以跟反函數有關嗎？

X = π

  ===>   sin X = sin π  <=>  sin X = 0  <=> X =  0,π,2π,3π,4π,...(無限解)

真的耶，聞到味道了，真的跟你用什麼f(x)套在兩邊有關 >_<

f(x)=x^2  ，二對一，增一個根
f(x)=sinx  ，無限對一，增無限個根

→ Vulpix      :一般而言，有沒有反變換，本來就不是容易的問題，
→ Vulpix      :但是對於單變數連續函數我們有一個簡單的準則：單調


※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.17.111        (05/11 22:59)
→ suhorng     :二樓說了...ln有反函數
可是好像也怪怪的，


X=4 ，平方無反函數，  X^2=16，增根

|x| = 4 ，也兩邊同取無反函數的f(x)=x^2，可是就沒增根耶


是不是跟你本身用誰去套有關？有沒有可能要同時考慮函數的特性跟定義域是誰

那這樣單純講反函數並不太對啊，有沒有更一般化的系統
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.17.111        (05/11 23:01)
推 znmkhxrw    :可是你今天是問微分  跟有沒有反函數沒有什麼關係
先不管微分，先管第一步為什麼可以同取 ln
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.17.111        (05/11 23:03)
→ Vulpix      :|x|=4這個例子是因為|x|肯定非負，而平方操作當定義
→ Vulpix      :域限制在非負實數上時，是有反函數的：開根號。
→ suhorng     :不太懂跟增不增根的關係
→ Vulpix      :剛剛是為了方便敘述，所以沒指定"平方"的定義域，
→ suhorng     :f = g, f>=0, g>=0 => ln f = ln g 這完全正確
→ znmkhxrw    :為何不能取ln?? 對所有大於零的實數都能取ln阿
→ suhorng     :然後使用 f'(h(x))h'(x) = ... 之類
→ Vulpix      :而沒指定定義域的時候"平方"通常是當成定義於實數系
→ suhorng     :最後套回去因為 h 有反函數可以代 h^{-1}
→ znmkhxrw    :今天你的f定義在R\{2}的所有函數值都是正的
→ znmkhxrw    :當然可以取ln
→ Vulpix      :他的問題是為什麼取ln後不會跑出多餘的結果(增根)。
→ suhorng     :你說增不增跟比較接近問 {x | f(x) = c}
→ suhorng     :可是這方向是反過來的
→ Vulpix      :原po你也是，不要搞錯自己的問題！取ln一定可以取，
→ Vulpix      :這點書上寫得很清楚。
→ Vulpix      :雖然書上計算寫得不夠好...ln(x-2)應改為ln|x-2|
→ Vulpix      :不過也只要改這個而已，剩下的計算都是沒問題的。
推 Vulpix      :結論：就是要問是否iff。就是要找反函數。
→ Vulpix      :至於「函數」必須指定定義域與對應域，參見#1HUA9LTo
推 yeh6        :因為ln是一個函數所以x=y => lnx=lny
推 hcsoso      :看看能不能釣到人講 Riemann surface... (期待)
推 cacud       :一對一阿
推 ddxu2       :因為取ln時，不同的x,y會送到不同的值；取平方時，不
→ ddxu2       :同的x,y可能會送到同個值。
→ ddxu2       :存在有反函數跟1對1是同個意思。
→ ddxu2       :經由1-1的函數運算不會增根，是因為你得出的方程式如
→ ddxu2       :果有一組解(x,y)，那麼因為此函數有反函數，用反函數
→ ddxu2       :對其等式兩邊做運算，會得到一樣的解。(我也講不清楚
推 Scape       :這就只是簡單的函數合成而已
→ Scape       :一個一對一函數跟另一個一對一函數合成還是一對一
→ Scape       :請往定義域跟值域的關係這方向去思考
→ sneak       : 這就只是簡單的函數合成 https://daxiv.com
→ sneak       : 域限制在非負實數上時， https://muxiv.com
→ muxiv       : |x|=4這個例子是因 https://moxox.com