作者Heaviside (Oliver)
看板Math
標題Re: [微積] 分部積分
時間Wed May 15 21:21:41 2013
※ 引述《LuisSantos (但願真的能夠實現願望)》之銘言：
: ※ 引述《rebe212296 (綠豆冰)》之銘言：
: : 求∫t^4*e^tdt
: : 請問怎麼解 謝謝!
: t
: 令 u = t^4 , dv = e dt
: 則 du = (4)(t^3) dt , v = e^t
: ∫(t^4)(e^t) dt
: = (t^4)(e^t) - (4)(∫(t^3)(e^t) dt)
: = (t^4)(e^t) - (4)((t^3)(e^t) - ∫(e^t)((3)(t^2)) dt)
: (令 u = t^3 , dv = e^t dt , 則 du = (3)(t^2) dt , v = e^t)
: = (t^4)(e^t) - (4)(t^3)(e^t) + 12∫(t^2)(e^t) dt
: = (t^4)(e^t) - (4)(t^3)(e^t) + (12)((t^2)(e^t) - ∫(e^t)(2t) dt)
: (令 u = t^2 , dv = e^t dt , 則 du = 2t dt , v = e^t)
: = (t^4)(e^t) - (4)(t^3)(e^t) + (12)(t^2)(e^t) - 24∫(t)(e^t) dt)
: = (t^4)(e^t)-(4)(t^3)(e^t)+(12)(t^2)(e^t)-(24)((t)(e^t) - ∫e^t dt)
: (令 u = t , dv = e^t dt , 則 du = dt , v = e^t)
: = (t^4)(e^t)-(4)(t^3)(e^t)+(12)(t^2)(e^t)-(24)(t)(e^t) + (24)(e^t) + c
來個小教學好了
很多人在解分部積分法時
都還是使用變數變換法(如原PO)
這裡 我從原理下手
教大家 如何在不使用變數變換法的情況下
解完這一題
※註：表格法在17285篇有說明
#1HK7tf1A (Math)
在此就不贅述了
-----
另解：
由 d(uv)=udv+vdu => udv=d(uv)-vdu => ∫udv = uv-∫vdu
以本題為例
可以很快的看出 t^4容易微分 e^t容易積分，且積分後=e^t
亦即 ∫e^t dt=∫d(e^t)=e^t +c
故 使用合併法
∫t^4 *e^tdt =∫t^4 d(e^t)=t^4*e^t - ∫e^t d(t^4)
=t^4*e^t - ∫4t^3 *e^tdt
=t^4*e^t - ∫4t^3 d(e^t)
=t^4*e^t - 4t^3*e^t + ∫e^t d(4t^3)
=t^4*e^t - 4t^3*e^t + ∫4*3t^2 *e^t dt
如此反覆下去 即可得
∫t^4 *e^tdt =e^t(t^4-4t^3+12t^2-24t+24) +c為解
----
我承認 我沒算到完@@ 後面直接用表格法心算了
只是 據說有學校考試不能用表格法當計算過程
所以 考試像我這樣寫 然後點點點 可得解
就可以了
強烈建議一定要學會表格法
否則 算完分部積分 抬頭一看
憲兵已經在講台前等你交卷了(誤)
--
Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.243.114.17
推 a29788685 : 05/15 21:44
→ doom8199 :不是一樣的東西嗎... 前一篇 po 的括號只是解釋而已 05/15 22:10
原PO是用變數變換法 然後把換完的u&v代入
我這邊用了一個trick
在不使用變數變換法的情況下
對dt做手腳 可以直覺的使用
好處是 可以避掉在變數變換法時 可能會代換失誤
※ 編輯: Heaviside 來自: 111.243.114.17 (05/15 22:18)
→ Vulpix :沒有啊，一樣是分部積分啊||| 05/15 22:18
→ suhorng :毫無變數變換吧@@? 05/15 22:26
→ suhorng :用表格法乾脆直接用看的(誤) 05/15 22:27
→ doom8199 :還是有變數變換(e^t dt = de^t)，您只是沒有令 v=e^t 05/16 08:54
→ doom8199 :這就像國中算一元二次方程式, 解 x^2 - 2x + 1 = 0 05/16 08:56
→ doom8199 :前一篇令 y = x-1, 方程式可改寫成 y^2 = 0 05/16 08:56
→ doom8199 :然後你這一篇說這解法容易代換失誤,所以提 (x-1)^2=0 05/16 08:57
→ doom8199 :btw, "表格法" 應該只是一種幫助記憶的東西 05/16 09:01
→ doom8199 :ibp 熟練後，自然就能一次寫出來 05/16 09:02
→ Vulpix :話說，平常我見到的人都是令了u,v比較不失誤... 05/16 12:39