[微積] 證明

[nobrother (nono)]

設f為定義於R的實值函數 , 且f在至少一點x_0 屬於 R ,

使得f在點x=x_0連續 , 對於任意兩實數x與y 屬於 R ,

滿足f(x+y)=f(x)+f(y) , 試證將存在一常數k ,

使得f(x)=kx , for all x屬於R


我的方法:

f(x)=f(0+x)=f(0)+f(x) => f(0)=0

f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0 => f(-x)=-f(x)

根據均值定理

存在c 屬於 [x,y] such that

f(x)-f(y)
--------- = f'(c) =k
   x-y

又

f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(x-y)

   f(x)-f(y)     f(x-y)
=> --------- = ---------- =k
     x-y          x-y

=>f(x-y)=k(x-y)

因x,y屬於R,

所以x-y 屬於R


但是總覺得怪怪的

因為題目好像也沒說可以微分

請問我的證明有那裡可以改進的?

或是從頭開始都是錯的?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.253.14.34
推 LPH66       :我看起來整個都是錯的  原因就如你說的
→ LPH66       :題目只有 f 至少在一點連續  這跟可微差的有點多
→ nobrother   :這樣啊  謝謝你
→ ex951753    :f(x+y)=f(x)+f(y) for ev x, y in R
→ ex951753    :跟 f(x)=k , for ev x in R 擺在一起 不就 k=2*k =0?
→ suhorng     :i guess it should be f(x) = kx ..
→ ex951753    :所以題目就不對了嘛 證不出來合情合理 不用太在意
→ nobrother   :喔  題目錯了 我之前有發現 打字還是照打@@ 抱歉
※ 編輯: nobrother       來自: 111.253.14.34        (11/25 18:30)
推 jacky7987   :Apostol的習題~
推 jacky7987   :你先用線性來說明他每個點都連續
推 jacky7987   :接著你可以參考我以前做的#1DLXqiAg
→ sneak       : 我看起來整個都是錯的  https://noxiv.com
→ muxiv       : 接著你可以參考我以前做 http://yofuk.com