Re: [微積] 泰勒定理的觀念問題

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《Cupman (杯男)》之銘言：
: 是一本課本上的題目
: －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
: f(x)=sinx的第三個馬克勞林多項式是
:               3
:              x
: P(x)= x -  －－－
:              3!
: 請以P(0.1)近似sin(0.1)並決定近似值準確度
: －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
: 解:
:               3        (4)
:              x　　　　f   (z)  4
: sinx = x - －－－ + －－－－－x
:              3!  　　　4!
: 式中0<z<0.1
: 因此
: sin(0.1) ≒ 0.1-0.000167=0.099833
:      (4)
: 至於f   (z) = sin(z) 誤差∣R(0.1)∣的大小可以估算如下
: 　　　　　　  sin(z)      4    0.0001
: 0 < R(0.1) = －－－－(0.1)  < －－－－ ≒ 0.00004
: 　　　　　　　  4!               4!

因為當0 < z < 0.1 < π/2

0 <　sinz < 1

所以最右邊sin(z)的地方用1取代

: 就是這個式子看不懂，這個不等式是怎麼寫出來的@@?
: 把兩邊同乘四階乘，再同除0.1的四次方
: 就會得到   0 < sin(z) < 1
: 但是為什麼sin(z)會借於0,1之間? 不是都已經知道z已經介於0到0.1了嗎?

只是約略估計上限而已

: 請各位高手指教，謝謝！

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推 Cupman      :不好意思在請問一下，既然如此，是不是代表我可以寫
推 Cupman      :0<z<0.1<π/6    所以 0 < sinz <0.5
→ Cupman      :這樣不是能算出更精確的誤差嗎?
→ Honor1984   :可以
→ yhliu       :事實上 |sin(z)| ≦ |z| 對實數 z 都成立, 既然 z 介
→ yhliu       :於 0 和 0.1 之間, 用 |sin(z)| ≦ 0.1 誤差界限更好
→ yhliu       :又, sin(x) 的第3階和第4階展式相同, 因此可以取第4
→ yhliu       :階展式的餘式來估算誤差界限.
推 Cupman      :謝謝大家我懂了!!