Re: [其他] 第四次數學危機？

[Babbage (驕傲體現於健忘)]

※ 引述《Babbage (驕傲體現於健忘)》之銘言：
: 回到最原先的問題，會不會有第四次危機？
: ※ 編輯: Babbage (161.64.208.121), 05/22/2014 16:04:46
: → biglion     :非歐幾何的發現也是一次數學危機                     05/23 20:17

你說的似乎有點道理，我先前沒考慮到這個，我的看法是這樣的：

歐幾里得使用公理化的方式寫了《幾何原本》，試圖把他當時已知
的數學建立在清楚的定義、自明的公理、嚴格的邏輯推論之上。雖
然該書名為《幾何原本》，但幾何一詞的意義在當時是涵蓋所有數
學領域的（就像上一篇提到的，這與數學的本體論定義有關），《
幾何原本》也包含了許多算術與其他數學領域。比歐幾里德更早一
百年的柏拉圖在學院門楣寫著「不懂幾何者莫入」，實際上也是指
所有的數學。

不過在歐幾里德之後，沒有任何人在他的基礎上取得更大的數學方
法論方面的進展。數學內容本身的發展也在羅馬帝國與後繼的中世
紀時期裡停滯，直到阿拉伯人將算術帶到歐洲之後才重拾活力。此
時（西羅馬滅亡後到十三世紀初）東方的拜占庭帝國始終比西方更
為強勢，不只在政治和經濟上，文化發展上（包括數學）也是如此
。畢竟數學還是要在適當的環境之下才能夠獲得相對應的發展。

十三世紀開始，西方世界（現在的歐洲大陸）受到義大利早期資本
主義下的經濟起飛帶動，經歷了文學的"復興"（佩托拉克、但丁）
、學術的"復興"（法國、義大利各大學的建立）、藝術的"復興"，
整個世界漸漸形成與中世紀截然不同的面貌。此時數學家的工作也
是配合各領域的發展，例如繪畫中的透視畫法啓發了射影幾何、商
業與稅收計算也促進了算術發展。上一篇文章提到的解方程式在當
時並不實用，但是卻可以讓算術學家用來證明自己的數學功力，以
承攬更多業務並提高服務的價碼。

其實數學從來都不只具有實用的價值。在古希臘時期，柏拉圖對世
界的理解是建立在理想—現實的二元對立上，而數學提供了一種譬
喻，可以讓柏拉圖藉由「完美的圓是畫不出來的」這種方式來介紹
他的世界理論。在亞里斯多德的眼中，數學的地位與當今較為類似
，都是作為科學的基礎而存在，例如邏輯學是理性推論必須依賴的
工具。文藝復興之後，歐洲人受到歐幾里得公理化數學的啟發，莫
不同意嚴格的理論必須建立在這種架構之上，當時人們稱這種方法
為幾何方法，例如巴斯卡就寫過名為《論幾何精神》的書，而其內
容談論的正是如何用類似歐幾里德的方式建立一套嚴格的理論。當
時最需要被嚴格化的理論就是神學。其實原因並不難理解，因為公
理化方法的重點並不在於發現新的數學，而是以此方法重新整理既
有的數學內容。在十七世紀時，中世紀發展得最為豐富的理論正是
神學理論，特別是經過阿奎那的集大成之後，神學不但是包羅萬象
，其錯綜複雜更是令人望而生畏，若是能以公理化方式將之加以整
理，那必然是當時最偉大的成就。當時的哲學家史賓諾莎就做了這
樣的嘗試，不過他所能公理化的神學也僅是非常小的一部份。當時
因為經過了長時間的"復興"之後，當時知識界所追求的最高目標都
是把人類千年來的智慧結晶做某種系統化。（哲學界的集大成論述
也是在十八世紀中由康德等人完成。）

然而就在其他學科努力模仿數學之時，數學家卻從事著更進一步的
工作，也就是將歐幾里德的公設最佳化。當時數學家普遍認為歐幾
里德第五公設顯得有點囉唆，似乎可以由其他四個公設推導出來。
我不確定這段歷史始於何時，或許一直有人做過類似的嘗試。不過
始終沒有人成功證明第五公設，我個人相信一定有數學家懷疑過第
五公設是不是真的可以證明，但是如果第五公設不能被證明（亦即
無法由前四個公設推導而出），我們又該如何「證明」這件事呢？
這個方法論上的困難必須在人類心智達到一定成熟度之後才能克服
。而這個時間點就在十八十九世紀之交。也就是所謂非歐幾何的誕
生。當時數學家首先嘗試將第五公設改成相反的論述，結果發現之
前成立的定理敘述也相應變成相反的內容。舉例來說，使用原來的
第五公設可以證明三角形內角和180度，而使用"反面第五公設"則可
以證明三角形內角和不是180度。乍看之下這個結論似乎不是對的，
但是它卻是與這套新的五個公設相容的。花費許多心力重新推導之
後，數學家可以把《幾何原本》所寫的理論（至少關於幾何的基礎
部分）改成一套完全一致的數學理論。高斯本人就這麼做了，但他
並沒有理解到這件事的哲學意義，對他來說這只是個類推式的數學
工作。這個工作顯示我們可以擁有另一種幾何學，並且僅僅是透過
改變一個公設就得到的「平行體系」。

這件事的思想基礎其實可以追溯到哥白尼。當哥白尼提出「日不動
說」做為與托勒密地心說相抗衡的理論時，並沒有足夠精確的實驗
可以證明哪一個理論是有錯誤的。對當時的人來說，這兩個理論就
是一種平行體系。哥白尼《天體運行論》的前言便是如此介紹這個
日不動說（前言作者是教會人士，代表當時一群知識份子的觀點）
。所以科學家在當時就了解到：對於同一個現象，可能有兩種不同
的系統化的方式。所以當後來非歐幾何出現時，要思考「存在兩種
不同的公理系統同時都有真正的應用」就比較容易一些。我們可以
想像如果非歐幾何在哥白尼之前被數學家發現，那麼或許數學家們
就尚未有足夠的心智成熟度來接受這個來自平行世界的數學。事實
上，就連研究球面三角學的高斯也沒有以這種方式來看待他關於非
歐幾何的發現。

所以總結一下我個人的看法：
就數學本身而言，非歐幾何並沒有挑戰原有架構的正確性，所以並
沒有造成數學本身的危機。就數學家（自然哲學家）而言，在經歷
過天文學革命之後，非歐幾何所帶來的「非正統」衝擊似乎就不那
麼大了。（哥白尼時代，數學家與天文學家是分不開的。）不過這
個思想衝擊仍然不斷地進行，直到哥德爾時演變成數學家的心理危
機，也終結了形式主義的獨霸地位。
真正有趣的是，非歐幾何終結了哲學家對公理化（幾何化）的幻想
。雖然日後仍有胡賽爾之類的大師試圖從事這種將哲學嚴格化的工
作，但他們也都知道這種做法只保證了他們的哲學"在某個世界裡"
是精確的，卻不是先驗地正確。所以非歐幾何對哲學家來說是更大
的危機（事實上哥德爾不完備定理也是對哲學家造成比對數學家更
深刻的影響）。


ps. 抱歉寫得很簡略，大概大家看完會覺得論述有點"跳"，
我需要更多的時間才能好好地解釋這些觀點的來源。只是如
果我寫太長了，好像也不是很好。真是困難啊。 XD

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※ 編輯: Babbage (114.36.107.232), 05/23/2014 23:25:21
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