作者Hyuui (修)
看板Math
標題Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識
時間Tue May 27 21:58:20 2014
※ 引述《Chatterly (chatterly)》之銘言：
: 這本算很簡單的,所以你是要表達Hyuui亂寫嗎?
: 說過了,我不會做Zeta的解析延拓,因為我不是做數論的,但是我剛剛看這本其實也還好
: 接下來這本書的 p.178頁 習題15 和16給你提示我作法了,我打的還比較仔細
: 來呀,證明一下這二題習題展現一下你的本領給大家看看啊,我的證明幾乎就是這習題了
: 然後更困難以下的習題幾乎是水到渠成了
: 1+2+3+.....=-1/12
: 1+1+1+....= -1/2
: 不要只是丟書好嗎? 我都認真寫算式了,我只是寫給懂得人看得
Lindemann = Chatterly 在物理板說：
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這個物理學過弦論通常不是背起來就是用regulations來快速得到,
所以Hyuui他的文章已經是嚴重誤導鄉民,根本就是不懂裝懂,
跟鄉民保證全台灣沒有老師無聊去教這個的,真正會去深入研究的人除非是做解析數論的
所以拜託鄉民不要被Hyuui給騙了,他只是把wiki抄一下,然後竟然說他會做Zeta函數的
解析延拓(這超難的),如果他有本事不可能我的文章竟然連個一行都debug不出來
//
這讓我感到非常疑惑，因為Zeta函數的解析延拓是數學系大三生就會的東西。
中正數學系的情況我不清楚，至少在清華大學數學系，我們都是這樣教的。
或許物理系出身的弦論學家比較不在意嚴謹的數學證明，但這一定難不倒他們。
而且要說Zeta函數的解析延拓超難，卻說自己會做AdS/CFT，這實在很奇怪。
我從未學過解析數論，也很久沒碰複變了，但我可以憑著記憶挑戰一下。
──
讓我們從一個基本式子開始：
(我對統計力學不熟，所以不確定這在統計力學中是不是基本的東西。)
Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt
移項一下。
Zeta {z}
= 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
= 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
注意到 Int_1~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt 是解析函數，記為g(z)。
我們要處理的只有 Int_0~1 的部分，
所以把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開，係數先不管它。
1 / (e^t -1)
= 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ...
故
Int_0~1 {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
= Int_0~1 {t^(z-2) + a_0 t^(z-1) + a_1 t^z + ...} dt
= 1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...
所以
Zeta {z}
= 1 / Gamma {z} * {[1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...] + g(z)}
注意到在z等於非正整數的時候，極點都會被Gamma函數抵消掉，
所以Zeta函數只有在 z=1 的時候有單極點。
Q.E.D.
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→ Chatterly :看的出來你只是對統計力學只聽過名字的程度好嗎? 05/27 22:16
→ CNSaya :推，係數部分他自己端出來的習題提示也寫得一清二處 05/27 22:16
→ Chatterly :在z=1那點就爆掉了,這到底是什麼鬼程度啊,還有人推 05/27 22:21
→ Hyuui :在z=1那點就爆掉了，這不就是我這篇證明的東西嗎？ 05/27 22:22
→ Chatterly :你真的是程度有夠差耶,Laurent級數展開是開區間好嗎? 05/27 22:23
→ Hyuui :1 / (e^t -1) 本來就可以作Laurent展開，你沒學過？ 05/27 22:24
→ Chatterly :叫你學長出來證明好嗎?我已經跟他說是習題那一題了 05/27 22:24
→ Hyuui :我還沒把那個函數積分喔，所以當然可以做展開。 05/27 22:24
→ Chatterly :拜託那是開區間才能做展開,不是每個人程度像你那樣差 05/27 22:25
→ Hyuui :CNSaya剛好也有書，他已經用書上的句子打你臉了。 05/27 22:25
→ Hyuui :"with only singularity a simple pole at s=1" 05/27 22:25
→ CNSaya :提示這麼清楚也能做成這樣 不知道該說什麼 05/27 22:42
→ Chatterly :你們這就更好笑了,既然這個提示s=1會爆掉,那怎麼不會 05/27 22:43
→ Chatterly :做避開的動作然後做出我的結果,我的方法就是對s=1做 05/27 22:44
→ Chatterly :手術,但是那不是Zeta函數好嗎?和Zeta跟Gamma的乘積 05/27 22:44
→ Chatterly :我的證明不知道重複幾次了,對 s=1 做手術避開那一點 05/27 22:45
→ Hyuui :你的手術沒做完，我卻用Zeta跟Gamma的乘積證明完了。 05/27 22:45
→ Chatterly :Hyuui這樣亂寫不是暴露出他的程度真的是不堪一擊嗎? 05/27 22:45
→ Chatterly :CNSaya請你看看的Stein書是不是我說的那樣? 05/27 22:46
→ Hyuui :明天晚上我有空的話，我順便把習題15證給大家看吧。 05/27 22:46
→ Chatterly :沒時間跟你們這些人吵了,程度有夠差的,連書都看不懂 05/27 22:48
→ Hyuui :免得有人說那是統計力學的基本式子，卻不知怎麼證。 05/27 22:48
推 jacky7987 :幫推個~ 05/27 22:49
※ 編輯: Hyuui (1.165.175.29), 05/30/2014 02:55:33