→ Hyuui :明天晚上我有空的話，我順便把習題15證給大家看吧。
→ Hyuui :免得有人說那是統計力學的基本式子，卻不知怎麼證。
完整題目可以參考上面連結的圖檔，這是Elias M. Stein寫的複變課本的習題15。
──
我們要證明以下式子是怎麼來的：
Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt
先複習一下Gamma函數的定義：
Gamma{z} = Int_0~∞ {e^(-t) * t^(z-1)} dt
故
Gamma{z} / n^z
= (1 / n^z) * Int_0~∞ {e^(-t) * t^(z-1)} dt
= Int_0~∞ {e^(-nt) * t^(z-1)} dt
所以
Gamma{z} * Sum_n=1~∞ {1 / n^z}
= Int_0~∞ { t^(z-1) * [ Sum_n=1~∞ {e^(-nt)} ] } dt
= Int_0~∞ { t^(z-1) / (e^t -1)} dt
移項即可得到
Zeta{z} = Sum_n=1~∞ {1 / n^z}
= (1 / Gamma{z}) * Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt
Q.E.D.
P.S.
1. 我不是專做弦論、也不是專做複變的教授。
2. 利用該式證明Zeta函數的解析延拓，請見我的上一篇文章。
也就是Elias M. Stein寫的複變課本的習題16。
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→ yueayase :這些關係式我最近看到youtube影片證明1+2+...=-1/12 05/28 00:36
→ yueayase :就有點疑惑，不過現在看到發現可能可以用zeta函數 05/28 00:37
→ yueayase :或是rerangement theorem去解釋之間有歧異的關係 05/28 00:37
→ yueayase :不過的確是不太懂，因為沒仔細檢查那些定理的條件 05/28 00:38
→ yueayase :不過我覺得說1+2+...=-1/12不嚴謹，我就不知道要以 05/28 00:41
→ yueayase :哪種觀點看了，因為經過rerangement，的確可得到收斂 05/28 00:41
→ yueayase :可是string theory一直在用，感覺是有某種事實在支撐 05/28 00:43
→ yueayase :就不知在數學家的眼中，是否要以別種方式解釋，才會 05/28 00:44
→ yueayase :接受這個結果 05/28 00:44
→ Hyuui :主要是因為弦論要在複幾何上用到Zeta函數的關係。 05/28 00:45
→ Hyuui :所以弦論學家需要Zeta函數的解析延拓，才能做事。 05/28 00:46
→ Hyuui :但物理系出身的人，通常不知道解析延拓的證明過程。 05/28 00:47
→ Hyuui :雖然這也不是太困難的事，只是要去讀複變就是了。 05/28 00:47
→ Lindemann :量子力學都不會的不要來亂扯好嗎?你怎麼這麼不要臉啊 05/28 05:50
→ Lindemann :我對物理是心灰意冷了,因為你這種程度低落的人太多了 05/28 05:51
→ Lindemann :我的高中同學每個人頭腦都比你強太多了,也沒你不要臉 05/28 05:51
→ Lindemann :要不是我對醫生沒興趣加上沒錢,我根本沒把你放在眼裡 05/28 05:52
→ Lindemann :你上次寫一個相對論的給我老闆的,三個方向同時收縮 05/28 05:52
→ Lindemann :你有夠不要臉的耶,這種違反專業和良知的錯誤你也敢寫 05/28 05:53
→ Lindemann :我老闆脾氣好不想跟你計較,但是我可以替他說,你真的 05/28 05:53
→ Lindemann :程度差到我不知道該怎麼說你,我這輩子被嗆得就是你 05/28 05:54
→ Lindemann :做科學的就是要誠實,你連基本道德都沒有,專業更是0分 05/28 05:55
→ Lindemann :請問一下你怎麼這麼敢不要臉呢?昧著良心說話很爽嗎? 05/28 06:01
→ Lindemann :說真的你的腦袋奇差無比,我根本沒有把你放在眼裡好嗎 05/28 06:01
→ Lindemann :我是永遠不會寫我自己覺得錯誤的東西來騙人,這是道德 05/28 06:02
→ Lindemann :最後版主把我水桶吧,我根本這個超級爛版完全沒興趣 05/28 06:03
→ CNSaya :你有誠實面對各大來源都說pole在s=1嗎? 05/28 06:53
→ yueayase :我自己是不太想看這串文了，對峙的太恐怖了... 05/28 07:01
→ Hyuui :Lindemann, show me your Proof. 05/28 07:23
推 LPH66 :唉, 我都敲那麼多邊鼓要他寫東西了, 但現在連個證明 05/28 08:24
→ LPH66 :都沒看到, 看來應該是八卦版待太久思考模式都同化了 05/28 08:25
→ LPH66 :以為用這種方式就會有人接受他的說法... 05/28 08:25
→ josh28 :同意樓上 如果某C還是堅持"不想要自己的想法被無恥之 05/28 09:11
→ josh28 :徒抄襲所以論文裡的證明計算細節都要一路跳跳跳好保 05/28 09:12
→ josh28 :護自己的研究團隊"這種說詞而不願提出證明的話 那我 05/28 09:13
→ josh28 :建議直接放棄我們這些"無知"的數學版版眾吧 05/28 09:14
→ josh28 :因為情況就只會僵持在一個提出完整的依據證明 一個只 05/28 09:14
→ josh28 :是在瘋狂跳針 當然多數人只會願意相信前者 05/28 09:15