→ letmegoogle :這解法漂亮! 06/07 23:14
※ 引述《letmegoogle (goo之哉 goo之哉)》之銘言：
: 一個朋友問我這題，很不幸的我卡關了~
: 題目如下。
: 設n≡1(mod 6)
: 或n≡2(mod 6)
: 或n≡4(mod 6)
: 或n≡5(mod 6)
: 求證:10^(2n)+10^n+1為37的整倍數。
: 我做了一個很基本的步驟~
: n=1，n=2，n=4，n=5一一驗證，
: 然後~然後我就不知道怎麼辦了~
: 請大家幫幫忙囉~
其實這題目可以拆成 n=1,4,7,... 和 n=2,5,8,... 兩串
兩串的n值每一次都差3
因此先算 n=1 和 n=2，
111和10101都是37的倍數，沒問題。
假設若n=k時成立
讓我們考慮n=k+3...
在這裡可以用一個小技巧：
若a-b、b都是37的倍數，則a也是37的倍數。
所以當 10^(2k)+10^k+1 是37的倍數時，
那我們只要能證明 [10^(2k+6)+10^(k+3)+1] - [10^(2k)+10^k+1] 是37的倍數即可
方便起見，我令 p = 10^k
所以原式 = (1000000*p^2 + 1000*p + 1) - (p^2 + p + 1)
= 999999*p^2 + 999*p
= 111*(9009*p^2 + 9*p)
很明顯， [10^(2k+6)+10^(k+3)+1] - [10^(2k)+10^k+1] 是37的倍數
所以 [10^(2k+6)+10^(k+3)+1] 也是37的倍數
因此根據數歸，
對所有 n=3k+1和n=3k+2 (k大於等於0)，
10^(2n)+10^n+1 都是37的倍數
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※ 編輯: ckchi (163.32.66.104), 06/06/2014 18:16:53