推 Lanjaja :真的好厲害! 謝謝你的幫助 06/07 08:46
推 microball :推~~ 06/07 13:18
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 我遇到一個傅立葉餘弦變換的積分題，想了很久仍然無從下手，
: 希望請板上強者幫忙我解這一道題。
: 證明:
: ∞ πsin(πb/a)
: ∫ sinh(ξb)cos(ξc)/sinh(ξa) dξ = -------------------------- , 0 < b < a
: 0 2a(cosh(πc/a) + cos(πb/a))
: 感謝幫忙。
要用到複變函數的 residue contour ....
為了避免混淆我把你原本的 y, x 改為 b, c
使用 f(z) = e^(bz + icz) / sinh(az)
積分範圍是複數平面上 x = ±R, y = 0, y = π/a 圍成的長方形, 且 R→∞
在 x = ±R 上 |f(z)| ≦ e^(bR-cy)/sinh(aR) → 0 (因 0 < b < a)
在 y = 0 (實軸) 上, 積分等於
∫e^(bx) cos(cx)/sinh(ax) dx + i∫e^(bx) sin(cx)/sinh(ax) dx
= S [記為 S]
在 y = π/a 上, f(z) = e^[b(x+iπ/a) + ic(x+iπ/a)] / sinh(a(x+iπ/a))
= e^[(bx+icx) + (-c+ib)π/a] / -sinh(ax)
積分等於 e^((-c+ib)π/a) S
所以整個範圍的積分 = (1 + e^((-c+ib)π/a)) S
另一方面, pole 在 z = 0 和 z = iπ/a 上, 在邊界上所以 residue 只算一半
(1 + e^((-c+ib)π/a)) S = πi [Res(f, 0) + Res(f, iπ/a)]
= πi[ 1/a - (e^((-c+ib)π/a))/a ]
→ S = πi(1 - e^((-c+ib)π/a)) / a(1 + e^((-c+ib)π/a))
= πi(sinh(cπ/a) - i sin(bπ/a)) / a(cosh(cπ/a) + cos(bπ/a))
S 實部 ∫e^(bx)cos(cx)/sinh(ax) dx = πsin(bπ/a) / a(cosh(cπ/a)+cos(bπ/a))
以 -x 代 x 得 -∫e^(-bx)cos(cx)/sinh(ax) dx 也是 S
兩者平均, S = ∫sinh(bx)cos(cx)/sinh(ax) dx = πsin(bπ/a) / a(...
這是整個實軸, 只有 0 ~ ∞ 的話就再除 2
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 175.181.148.65
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1402074231.A.557.html