※ 引述《letmegoogle (goo之哉 goo之哉)》之銘言：
: 一個朋友問我這題，很不幸的我卡關了~
: 題目如下。
: 設n≡1(mod 6)
: 或n≡2(mod 6)
: 或n≡4(mod 6)
: 或n≡5(mod 6)
: 求證:10^(2n)+10^n+1為37的整倍數。
: 我做了一個很基本的步驟~
: n=1，n=2，n=4，n=5一一驗證，
: 然後~然後我就不知道怎麼辦了~
: 請大家幫幫忙囉~
今天花了點時間研究了一下。
首先，關於n的那些條件~
看似四道式子，
實則等價於"設n不是3的整倍數"
(所以那些mod好像是用來嚇人的?XD)
那四道式子其實等價於
設n≡1(mod 3)
或n≡2(mod 3)
如果分四組變成分兩組，應該可以減少運算量~
再來，試探性地算一下10^n除以37的餘數。
n=1時不合，
n=2時10^n≡26(mod 37)
n=3時10^n≡1(mod 37) (這是重要資訊，可知循環性已出現)
n=4時10^n≡10(mod 37)
至此已知，
當n≡1(mod 3)時10^n≡10(mod 37)
n≡2(mod 3)時10^n≡26(mod 37)
依照題意，n不為3的整倍數。
接下來~
n≡1(mod 3)時2n≡2(mod 3)
而且n≡2(mod 3)時2n≡1(mod 3)
也就是說，
當n≡1(mod 3)時，有10^(2n)+10^n≡36(mod 37)
而當n≡2(mod 3)時，同樣有10^(2n)+10^n≡36(mod 37)
所以當n≡1(mod 3)或n≡2(mod 3)時，
10^(2n)+10^n+1為37的整倍數，得證。
(這樣證~是對的嗎?)
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