[其他] 別再解析研拓了, 你聽過範疇化嗎?

[TassTW (塔矢)]

讓我來介紹一點 21 世紀的數學.

1.
望文生義我們可以有第一種解釋:

範疇化(categorification) 是把現有的數學結構疊床架屋, 造一層更高的 category
structure - 把原 object 都賦予一個 category, 把原本的 map 變成 functor, 把
原本結構的等式看成 isomorphism ... 等等

例: 用 N 表所有含零自然數的集合, 這個集合上面有加法有乘法, 可以寫下自然數
    的等式, 如 1 + 1 = 2, 但是不能寫下 1 + 1 + 1 + .... = -1/2.

    一個天真的 categorification 就是把自然數 n 送到 n 維空間 R^n, 如此一來
1 + 1 = 2 就有個潮到出水的高等級解釋:

        R^1 ⊕ R^1 同構於 R^2.

同樣的, 自然數的乘法, 也可以看成 n 維空間和 m 維空間的 tensor product 同構
於 n*m 維空間. 因此我們可以說以下這些等價敘述.

"有限維實空間 categorify 自然數"
"有限維實空間 是 自然數 的 categorification"
"有限維實空間 就是 categorified 自然數"

並可以畫出圖

                有限維實函數

  categorification ↑ ↓ decategorification
  = 變成該維的空間       = 算維度

                   自然數

2.
喔喔, 這個說法看起來好厲害, 有什麼用呢?
在這個例子沒有用 你把 1+1=2 這樣看除了比較潮以外一點用都沒有.
但是, 我們可以找到有用的 categorification, 比方說:

例: 中學的時候大家可能學過這個歐拉公式:

    給你一個多面體, 你必定有 面數 - 邊數 + 點數 = 2

學過代數拓樸以後, 就知道上面的歐拉公式是 Euler characteristic 的特例:

    給你一個 CW complex X, X 的 Euler characteristic 等於
                 ∞    i
        chi(X) = Σ (-1) dim H_i(X),
                i=0
    其中 dim H_i(X) 是 X 的 i-th homology group 的維度, 等於 X 中 i-cells
    的個數.

比較少人知道的是這個公式的更高一層解釋:

    Khovanov 在 2000 年的文章發展了一套 graded homology theory, 對於每個
knot 定義了一組 graded vector spaces Kh(K) = (Kh^a(K))_a in Z. 並證明這個
Khovanov homology 的 Euler characteristic 就是 (normalized) Jone polynomial
J(K), 即

                           a
        chi(Kh(K)) = Σ (-1) gdim Kh^a(K) = (q+q^-1)J(K),
                   a in Z

或是
            Khovanov homology

  categorification ↑ ↓ decategorification
  (複雜 在此不表)        = (normalized) Euler characteristic

               Jones polynomial

而之後 Rassmussen 在 2010 用了這個 categorification 證明了 Milnor conjecture.
到此有人提出了第二種 categorification 的解釋

"範疇化就是定義新的 homology 來解釋數學結構"

3.
可是拓樸不是我的菜, categorification 有沒有其他用啊?
當然有, 在表現理論當中這個工具發展蓬勃.

例:
讓我們來 categorify Lie algebra sl_2(C) = <e,f,h>.
簡單的表現理論告訴我們任一 sl_2-module V 都有 decomposition

    V = ⊕ V_n,

並且 e 在每個 V_n 上的作用會落到 V_n+2 中,
     f 在每個 V_n 上的作用會落到 V_n-2 中,
     h 在每個 V_n 上的作用會送回 V_n.

一個天真的 categorification of sl_2-action 就是把

e 送到 functor E: D_n -> D_n+2,
f 送到 functor F: D_n -> D_n-2,
h 送到 functor H: D_n -> D_n,

使得這些 functors 間的 compositions 要有李代數該有的樣子, 如

    EF|D_n 同構於 FE|D_n ⊕ n份 Id_{D_n}  ... 等等

注意到 D_n 的 split Grothendieck group 就是 V_n,
我們便有
               categories {D_n}

  categorification ↑ ↓ decategorification
  (如上構造)             = Grothendieck group

                sl_2 repn V

但是這個天真的 categorification 也有所侷限,
Chuang-Rouquier 在 2008 給出一個更厲害的 categorification,
多要求了 adjointness 和 nil affine Hecke relations...等等,
然後他們用這個 categorification 證明了 modular representation
of symmetric groups 當中某些 blocks 等價, 解決了 Broue's abelian
defect group conjecture.

這類的結果很多, 因此也有人給出範疇化的第三種定義:

範疇化就是對一個結構構造一個範疇, 使得該範疇的 Grothendieck group
(或 ring) 和原結構之間做為 group/ring/algebra 同構

另一方面, 做幾何表現論的人也可以由此構造出一些 derived categories
of constructible sheaves on Grassmannians 之間的等價.
Cautis-Kamnitzer-Licata 也將這個 abelian cat 上的結果推廣, 給出
coherent sheaves of cotangent bundles 的結果, 證明了 Kawamata 和
Namikawa 的猜想.

4.
字好多好麻煩, 有沒有圖啊?
有的, 這個我就沒辦法在 BBS 上畫出來了...
有興趣的可以去看 Arron Lauda 的講義

http://arxiv.org/abs/1106.2128

簡單的說, 他用圖來表示兩個 functors 之間的 natural transformations,
定義 categorification 時所列出洋洋灑灑的 relations, 都可以用圖簡化,
大部分的關係都可以看成是圖和圖之間的 homotopy.

5.
最後讓我給一下第4種 categorification 的解釋

對於一個 (n-1)-category, 和任何一種從 n-cat 打到該結構的 decat.,
範疇化就是這個 decat. 的反向操作

在第一個例子中, decat. 是數維度,
第二個例子中, 是算 Euler characteristic,
在第三個例子中, 是算 Grothendieck group,
還有更多更多的新 decat. 冒出來.

總結, categorification 是 21 世紀的數學, 更高層的結構會給你更豐富的資訊,
雖然不一定每個 categorification 都有用, 但是只要構造夠自然, 就有可能
解決現有的問題, 不只是 abstract nonsense.
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                   「我們愛星星至深無懼於黑暗。」

     "We have loved the stars too fondly to be fearful of the night."

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 71.206.183.141
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※ 編輯: TassTW (71.206.183.141), 06/15/2014 11:10:20
推 wwfc        :這個才是數學，一直手術手術，也不會拿fields獎..orz
推 yw1002      :2014 Fields Medal快公佈了吧
推 jacky7987   :推個
推 s60984      :推~~~
推 barakafrance:感謝分享
推 WINDHEAD    :我一直覺得範疇化就是代數版的量子化
推 herstein    :是代數版本的量子化沒錯y
推 nicewine1   :請問這與WIN7或WIN82的結構是否有關呢
推 recorriendo :不如說是數學本身的代數化  要類比的話該是說像量子
→ recorriendo :論引入Hilbert space變成量子力學的過程
推 willydp     :感覺這種想法20世紀中就有了, 這只是找個名詞包裝?
→ willydp     :可以多給一些例子嗎? 有用3-category以上的例子.
→ willydp     :因為台大好像沒多少人在做這個, 我卻對這有點興趣.
推 nicewine1   :1933年蘇聯科學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化
→ nicewine1   :後來在量子力學與量子場理論方面取得很大成功
→ nicewine1   :但是物理學是否能全盤公理化尚有疑問
推 bjiyxo      :五體投地...推！
推 THEJOY      :潮到出水的簡介，我只好跪著看完了...Orz
推 Frobenius   :感謝分享 讚 Good！
推 amiabest    :可以借原文分享給國中學生看嗎？ 謝謝
→ TassTW      :可以啊 歡迎轉錄
→ yw1002      :感謝分享 讚 Good！
推 hcsoso      :感謝分享!
推 HmmHmm      :推推推
推 coolbetter33:好文
推 secjmy      :推這篇，快m起來，雖然我看不懂XD
推 recorriendo :國中學生怎麼看得懂@@
推 hcsoso      :對於 Khovanov homology 推薦 Dror Bar-Natan 的簡介
→ hcsoso      :"On Khovanov's categorification of the Jones poly
→ hcsoso      :-nomial", Algebraic & Geometric Topology, 2002.
→ muxiv       : "On Khovano https://noxiv.com